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1、五年高考 三年模拟 栏目索引 9 2 直线 圆的位置关系 高考文数 课标专用 五年高考 三年模拟 栏目索引 1 2018课标全国 8 5分 直线x y 2 0分别与x轴 y轴交于A B两点 点P在圆 x 2 2 y2 2上 则 ABP面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 3 D 2 3 五年高考 A组 统一命题 课标卷题组 答案 A 圆心 2 0 到直线x y 2 0的距离为 2 圆的半径为 设点P到直线的距离为d 则dmin 2 dmax 2 3 又易知A 2 0 B 0 2 AB 2 S ABP min AB dmin 2 2 S ABP max AB dmax 2 3 6 ABP
2、面积的取值范围是 2 6 故选A 解题关键 把求 ABP面积的取值范围转化为求圆上的点到直线的距离的最值 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2016课标全国 6 5分 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a A B C D 2 答案 A 由圆的方程可知圆心为 1 4 由点到直线的距离公式可得 1 解得a 故选A 易错警示 圆心的坐标容易误写成 1 4 或 2 8 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2018课标全国 15 5分 直线y x 1与圆x2 y2 2y 3 0交于A B两点 则 AB 答案 2 解析 将圆x2 y2 2y 3 0化为标准方程为x2
3、 y 1 2 4 则圆心坐标为 0 1 半径r 2 圆心到直线x y 1 0的距离d AB 2 2 2 方法归纳 求解圆的弦长的常用方法 1 几何法 l 2 其中l为圆的弦长 r为圆的半径 d为弦心距 2 代数法 联立直线与圆的方程 结合根与系数的关系及弦长公式 AB x1 x2 或 AB y1 y2 k 0 求解 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2016课标全国 15 5分 设直线y x 2a与圆C x2 y2 2ay 2 0相交于A B两点 若 AB 2 则 圆C的面积为 答案 4 解析 把圆C的方程化为x2 y a 2 2 a2 则圆心为 0 a 半径r 圆心到直线x y 2a 0的
4、距离d 由r2 d2 得a2 2 3 解得a2 2 则r2 4 所以圆的面积S r2 4 解题关键 破解此类题的关键是过好三关 一是借形关 即会画图与用图 二是方程关 利用直 角三角形 弦长的一半 弦心距 半径所构成的直角三角形 寻找关于参数的方程 三是公式 应用关 即利用圆的面积公式求解 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2016课标全国 15 5分 已知直线l x y 6 0与圆x2 y2 12交于A B两点 过A B分别作l的垂 线与x轴交于C D两点 则 CD 答案 4 解析 圆心 0 0 到直线x y 6 0的距离d 3 AB 2 2 过C作CE BD于E 因为直线l的倾斜角为30
5、所以 CD 4 一题多解 由x y 6 0与x2 y2 12联立解得A 3 B 0 2 AC的方程为y x 3 BD的方程为y 2 x 可得C 2 0 D 2 0 所以 CD 4 五年高考 三年模拟 栏目索引 6 2017课标全国 20 12分 在直角坐标系xOy中 曲线y x2 mx 2与x轴交于A B两点 点C的坐 标为 0 1 当m变化时 解答下列问题 1 能否出现AC BC的情况 说明理由 2 证明过A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 解析 1 不能出现AC BC的情况 理由如下 设A x1 0 B x2 0 则x1 x2满足x2 mx 2 0 所以x1x2 2 又C的坐标为
6、0 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为 所以不能出现AC BC的情况 2 证明 BC的中点坐标为 可得BC的中垂线方程为y x2 由 1 可得x1 x2 m 所以AB的中垂线方程为x 联立得 又 mx2 2 0 可得 所以过A B C三点的圆的圆心坐标为 半径r 故圆在y轴上截得的弦长为2 3 即过A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 五年高考 三年模拟 栏目索引 7 2015课标 20 12分 已知过点A 0 1 且斜率为k的直线l与圆C x 2 2 y 3 2 1交于M N两点 1 求k的取值范围 2 若 12 其中O为坐标原点 求 MN 解析 1 由题设 可知直线l的方程为y kx
7、 1 因为l与C交于两点 所以 1 解得 k0 则C 圆C的方程为 y a 2 a2 由 得 5 a 2a 2a2 4a 0 a 3或a 1 又a 0 a 3 点A的横 坐标为3 五年高考 三年模拟 栏目索引 一题多解 由题意易得 BAD 45 设直线DB的倾斜角为 则tan tan ABO tan 45 3 kAB tan ABO 3 AB的方程为y 3 x 5 由 得xA 3 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2017江苏 13 5分 在平面直角坐标系xOy中 A 12 0 B 0 6 点P在圆O x2 y2 50上 若 20 则点P的横坐标的取值范围是 答案 5 1 解析 解法一 设P
8、x y 则由 20可得 12 x x y 6 y 20 即 x 6 2 y 3 2 65 所以P为圆 x 6 2 y 3 2 65上或其内部一点 又点P在圆x2 y2 50上 联立得 解得 或 即P为圆x2 y2 50的劣弧MN上的一点 如图 五年高考 三年模拟 栏目索引 易知 5 x 1 解法二 设P x y 则由 20 可得 12 x x y 6 y 20 即x2 12x y2 6y 20 由于点P在圆x2 y2 50上 故12x 6y 30 0 即2x y 5 0 点P为圆x2 y2 50上且满足2x y 5 0的点 即P为圆x2 y2 50的劣弧MN上的一点 如图 同解法一 可得N 1
9、 7 M 5 5 易知 5 x 1 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2015湖南 13 5分 若直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 r2 r 0 相交于A B两点 且 AOB 120 O为坐 标原点 则r 答案 2 解析 过O作OC AB于C 则OC 1 在Rt AOC中 AOC 60 则r OA 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2015重庆 12 5分 若点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点P处的切线方程为 解析 设圆的方程为x2 y2 r2 将P的坐标代入圆的方程 得r2 5 故圆的方程为x2 y2 5 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M x y 则 x 1 y
10、2 由 O为坐标原点 得 0 即1 x 1 2 y 2 0 即x 2y 5 0 答案 x 2y 5 0 五年高考 三年模拟 栏目索引 6 2015山东 13 5分 过点P 1 作圆x2 y2 1的两条切线 切点分别为A B 则 答案 解析 如图 易得 又 1 2 所以 APO 30 故 APB 60 所以 cos 60 五年高考 三年模拟 栏目索引 1 2014课标 12 5分 设点M x0 1 若在圆O x2 y2 1上存在点N 使得 OMN 45 则x0的取值范 围是 A 1 1 B C D C组 教师专用题组 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 A 解法一 过M作圆O的两条切线MA MB
11、 切点分别为A B 若在圆O上存在点N 使 OMN 45 则 OMB OMN 45 所以 AMB 90 所以 1 x0 1 故选A 解法二 过O作OP MN于P 则 OP OM sin 45 1 OM 即 1 即 1 x0 1 故选A 思路分析 解法一 过M作出圆的两条切线 利用 OMB OMN得出答案 解法二 判断出O 到直线MN的距离小于等于半径 得到 OM 进而求出x0的范围 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2011全国 11 5分 设两圆C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 C1C2 A 4 B 4 C 8 D 8 答案 C 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 x
12、 a 2 y a 2 a2 将点 4 1 代入得a2 10a 17 0 解 得a 5 2 设C1 5 2 5 2 则C2 5 2 5 2 则 C1C2 8 故选C 评析 本题考查了圆的方程的求法 注意数形结合思想的应用 找出圆心坐标和半径之间的关 系是解题关键 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2019江苏 18 16分 如图 一个湖的边界是圆心为O的圆 湖的一侧有一条直线型公路l 湖上有 桥AB AB是圆O的直径 规划在公路l上选两个点P Q 并修建两段直线型道路PB QA 规划要求 线段PB QA上的所有点到点O的距离均 圆O的半径 已知点A B到直线l的距离分别为AC 和BD C D为垂
13、足 测得AB 10 AC 6 BD 12 单位 百米 1 若道路PB与桥AB垂直 求道路PB的长 2 在规划要求下 P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由 3 在规划要求下 若道路PB和QA的长度均为d 单位 百米 求当d最小时 P Q两点间的距离 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本小题主要考查三角函数的应用 解方程 直线与圆等基础知识 考查直观想象和数 学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 满分16分 解法一 1 过A作AE BD 垂足为E 由已知条件得 四边形ACDE为矩形 DE BE AC 6 AE CD 8 因为PB AB 所以cos PBD sin ABE 所以PB 1
14、5 因此道路PB的长为15 百米 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 不能 理由如下 若P在D处 由 1 可得E在圆上 则线段BE上的点 除B E 到点O的距离均小于圆O的半径 所以 P选在D处不满足规划要求 若Q在D处 连接AD 由 1 知AD 10 从而cos BAD 0 所以 BAD为锐角 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此Q选在D处也不满足规划要求 五年高考 三年模拟 栏目索引 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 PP1B中 PB P1B 15 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右
15、侧 才能符合规划要求 当QA 15时 CQ 3 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 综上 当PB AB 点Q位于点C右侧 且CQ 3 时 d最小 此时P Q两点间的距离PQ PD CD 五年高考 三年模拟 栏目索引 CQ 17 3 因此 d最小时 P Q两点间的距离为 17 3 百米 解法二 1 如图 过O作OH l 垂足为H 以O为坐标原点 直线OH为y轴 建立平面直角坐标系 因为BD 12 AC 6 所以OH 9 直线l的方程为y 9 点A B的纵坐标分别为3 3 因为AB为圆O的直径 AB 10 所以圆O的方程为x2 y2 25 从而A 4 3 B 4 3 直线AB的斜
16、率为 因为PB AB 所以直线PB的斜率为 直线PB的方程为y 所以P 13 9 PB 15 因此道路PB的长为15 百米 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 若P在D处 取线段BD上一点E 4 0 则EO 4 5 所以P选在D处不满足规划要求 若Q在D处 连接AD 由 1 知D 4 9 又A 4 3 所以线段AD y x 6 4 x 4 在线段AD上取点M 五年高考 三年模拟 栏目索引 因为OM 5 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 PP1B中 PB P1B 15 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 设Q a 9 由AQ 15 a 4 得a 4 3 所以Q 4 3 9 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 综上 当P 13 9 Q 4 3 9 时 d最小 此时P Q两点间的距离PQ 4 3 13 17 3 因此 d最小时 P Q两点间的距离为 17 3 百米 五年
