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1、 9 2直线 圆的位置关系 高考理数 课标 专用 1 2018课标 6 5分 直线x y 2 0分别与x轴 y轴交于A B两点 点P在圆 x 2 2 y2 2上 则 ABP面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 3 D 2 3 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 答案A本题考查直线与圆的位置关系 由圆 x 2 2 y2 2可得圆心坐标为 2 0 半径r ABP的面积记为S 点P到直线AB的距离记为d 则有S AB d 易知 AB 2 dmax 3 dmin 所以2 S 6 故选A 方法总结与圆有关的最值问题的解题方法 1 与圆有关的长度或距离的最值问题 一般利用圆的几何性质数形结合求解
2、2 与圆上点 x y 有关的代数式的最值的常见类型及解法 形如u 的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 2 2015课标 7 5分 过三点A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交y轴于M N两点 则 MN A 2B 8C 4D 10 答案C设圆心为P a b 由点A 1 3 C 1 7 在圆上 知b 2 再由 PA PB 得a 1 则P 1 2 PA 5 于是圆P的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y
3、 2 2 则 MN 2 2 2 2 4 思路分析根据圆的几何性质及已知条件求得圆心 从而求得半径 写出圆的标准方程 令x 0 求出y 进而可得 MN 的值 导师点睛在解决有关圆的问题时 注意多考虑圆的几何性质的应用 从而简化运算过程 3 2016课标 16 5分 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于A B两点 过A B分别作l的垂线与x轴交于C D两点 若 AB 2 则 CD 答案4 解析由题意可知直线l过定点 3 该定点在圆x2 y2 12上 不妨设点A 3 由于 AB 2 r 2 所以圆心到直线AB的距离为d 3 又由点到直线的距离公式可得d 3 解得m 所以直线l的斜率
4、k m 即直线l的倾斜角为30 如图 过点C作CH BD 垂足为H 所以 CH 2 在Rt CHD中 HCD 30 所以 CD 4 思路分析由弦长 AB 2及圆的半径可知圆心到直线的距离为3 利用点到直线的距离公式可得 3 进而求得m值 得到直线l的倾斜角 从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中求得 CD B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一两条直线的位置关系 1 2018北京 7 5分 在平面直角坐标系中 记d为点P cos sin 到直线x my 2 0的距离 当 m变化时 d的最大值为 A 1B 2C 3D 4 答案C本题主要考查点到直线的距离 解法一 由点到直线的距离公式得d cos
5、 msin 令sin cos cos msin sin d 1 当m 0时 dmax 3 故选C 解法二 cos2 sin2 1 P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆 又x my 2 0表示过点 2 0 且斜率不为0的直线 如图 可得点 1 0 到直线x 2的距离即为d的最大值 故选C 导师点睛解法一 利用点到直线的距离公式求最值 解法二 首先得出P点的轨迹是单位圆 x my 2 0表示过点 2 0 且斜率不为0的直线 然后利用数形结合思想轻松得到答案 2 2019江苏 10 5分 在平面直角坐标系xOy中 P是曲线y x x 0 上的一个动点 则点P到直线x y 0的距离的最小值是 答案4 解析
6、本题通过曲线y x x 0 上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式 基本不等式等有关知识 利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力 体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养 设P x0 0 则点P到直线x y 0的距离d 4 当且仅当x0 即x0 时取 故点P到直线x y 0的距离的最小值是4 一题多解当点P到直线x y 0的距离最小时 在点P处的切线与直线x y 0平行 设P x0 0 易知y 1 令1 1 得 2 x0 0 x0 P 3 此时点P到直线x y 0的距离为 4 故点P到直线x y 0的距离的最小值是4 考点二直线与圆 圆与圆的位置关系1 201
7、5重庆 8 5分 已知直线l x ay 1 0 a R 是圆C x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点A 4 a 作圆C的一条切线 切点为B 则 AB A 2B 4C 6D 2 答案C圆C的标准方程为 x 2 2 y 1 2 22 圆心为C 2 1 半径r 2 由直线l是圆C的对称轴 知直线l过点C 所以2 a 1 1 0 a 1 所以A 4 1 于是 AC 2 40 所以 AB 6 故选C 2 2018江苏 12 5分 在平面直角坐标系xOy中 A为直线l y 2x上在第一象限内的点 B 5 0 以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D 若 0 则点A的横坐标为 答案3 解析本题考查直线
8、与圆的位置关系 设A a 2a a 0 则C 圆C的方程为 y a 2 a2 由得 5 a 2a 2a2 4a 0 a 3或a 1 又a 0 a 3 点A的横坐标为3 一题多解由题意易得 BAD 45 设直线DB的倾斜角为 则tan tan ABO tan 45 3 kAB tan ABO 3 AB的方程为y 3 x 5 由得xA 3 C组教师专用题组考点一两条直线的位置关系1 2014江苏 11 5分 在平面直角坐标系xOy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点P 2 5 且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 答案 3 解析由y ax2 得y 2ax 由题意可
9、得解得 经检验满足题意 a b 3 2 2013课标 12 5分 已知点A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线y ax b a 0 将 ABC分割为面积相等的两部分 则b的取值范围是 A 0 1 B C D 答案B 1 当直线y ax b与AB BC相交时 如图 所示 图 易求得 xM yN 由已知条件得 1 a 点M在线段OA上 1 0 0 b a 点N在线段BC上 0 1 b 1 由解得 b 2 当直线y ax b与AC BC相交时 如图 所示 图 设MC m NC n 则S MCN mn mn 1 显然 0 n m 又0 m 且m n m 且m 1 设D到AC BC的距离为t 则 1
10、t m 而f m m 的值域为 即20 所以直线l可能与AB BC相交 也可能与AC BC相交 因此应进行分类讨论 根据题意在每类情况下构造关于b的不等式进行求解 考点二直线与圆 圆与圆的位置关系1 2015广东 5 5分 平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y2 5相切的直线的方程是 A 2x y 5 0或2x y 5 0B 2x y 0或2x y 0C 2x y 5 0或2x y 5 0D 2x y 0或2x y 0 答案A切线平行于直线2x y 1 0 故可设切线方程为2x y c 0 c 1 结合题意可得 解得c 5 故选A 2 2017江苏 13 5分 在平面直角坐标系xOy中 A
11、 12 0 B 0 6 点P在圆O x2 y2 50上 若 20 则点P的横坐标的取值范围是 答案 5 1 解析本题考查平面向量数量积及其应用 圆的方程的应用及圆与圆的相交 解法一 设P x y 则由 20可得 12 x x y 6 y 20 即 x 6 2 y 3 2 65 所以P为圆 x 6 2 y 3 2 65上或其内部一点 又点P在圆x2 y2 50上 联立得解得或即P为圆x2 y2 50的劣弧MN上的一点 如图 易知 5 x 1 解法二 设P x y 则由 20 可得 12 x x y 6 y 20 即x2 12x y2 6y 20 由于点P在圆x2 y2 50上 故12x 6y 3
12、0 0 即2x y 5 0 点P为圆x2 y2 50上且满足2x y 5 0的点 即P为圆x2 y2 50的劣弧MN上的一点 如图 同解法一 可得N 1 7 M 5 5 易知 5 x 1 3 2015江苏 10 5分 在平面直角坐标系xOy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m R 相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 答案 x 1 2 y2 2 解析由mx y 2m 1 0可得m x 2 y 1 易知该直线过定点 2 1 从而点 1 0 与直线mx y 2m 1 0的距离的最大值为 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 4 2014课标 16 5分 设点M x0
13、 1 若在圆O x2 y2 1上存在点N 使得 OMN 45 则x0的取值范围是 答案 1 1 解析解法一 当x0 0时 M 0 1 由圆的几何性质得在圆上存在点N 1 0 或N 1 0 使 OMN 45 当x0 0时 过M作圆的两条切线 切点为A B 若在圆上存在N 使得 OMN 45 应有 OMB OMN 45 AMB 90 1 x0 0或0 x0 1 综上 1 x0 1 解法二 过O作OP MN P为垂足 则OP OM sin45 1 OM OM2 2 1 2 1 1 x0 1 思路分析解法一 利用切线的性质及数形结合思想得出x0的取值范围 解法二 过O作OP MN 垂足为P 在Rt O
14、PM中利用三角函数的定义得出OP与OM的关系 利用OP的范围得出OM的范围 从而求得x0的取值范围 5 2019江苏 18 16分 如图 一个湖的边界是圆心为O的圆 湖的一侧有一条直线型公路l 湖上有桥AB AB是圆O的直径 规划在公路l上选两个点P Q 并修建两段直线型道路PB QA 规划要求 线段PB QA上的所有点到点O的距离均圆O的半径 已知点A B到直线l的距离分别为AC和BD C D为垂足 测得AB 10 AC 6 BD 12 单位 百米 1 若道路PB与桥AB垂直 求道路PB的长 2 在规划要求下 P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由 3 在规划要求下 若道路PB和QA的长度
15、均为d 单位 百米 求当d最小时 P Q两点间的距离 解析本小题主要考查三角函数的应用 解方程 直线与圆等基础知识 考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 解法一 1 过A作AE BD 垂足为E 由已知条件得 四边形ACDE为矩形 DE BE AC 6 AE CD 8 因为PB AB 所以cos PBD sin ABE 所以PB 15 因此道路PB的长为15 百米 2 不能 理由如下 若P在D处 由 1 可得E在圆上 则线段BE上的点 除B E 到点O的距离均小于圆O的半径 所以P选在D处不满足规划要求 若Q在D处 连接AD 由 1 知AD 10 从而cos BAD 0
16、所以 BAD为锐角 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 PP1B中 PB P1B 15 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 CQ 3 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 综上 当PB AB 点Q位于点C右侧 且CQ 3时 d最小 此时P Q两点间的距离PQ PD CD CQ 17 3 因此 d最小时 P Q两点间的距离为 17 3 百米 解法二 1 如图 过O作OH l 垂足为H 以O为坐标原点 直线OH为y轴 建立平面直角坐标系 因为BD 12 AC 6 所以OH 9 直线l的方程为y 9 点A B的纵坐标分别为3 3 因为AB为圆O的直径 AB 10 所以圆O的方程为x2 y2 25 从而A 4 3 B 4 3 直线AB的斜率为 因为PB AB 所以直线PB的斜率为 直线PB的方程为y x 所以P 13 9 PB 15 因此道路PB的长为15 百米 2 若P在
