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1、五年高考 三年模拟 栏目索引 10 4 直线与圆锥曲线的位置关系 高考理数 课标 专用 五年高考 三年模拟 栏目索引 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 五年高考 A组 统一命题 课标卷题组 1 2018课标 8 5分 设抛物线C y2 4x的焦点为F 过点 2 0 且斜率为 的直线与C交于M N两 点 则 A 5 B 6 C 7 D 8 答案 D 本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算 设M x1 y1 N x2 y2 由已知可得直线的方程为y x 2 即x y 2 由 得y2 6y 8 0 由根与系数的关系可得y1 y2 6 y1y2 8 x1 x2 y1 y2 4 5 x
2、1x2 4 F 1 0 x1 1 x2 1 y1y2 x1x2 x1 x2 1 y1y2 4 5 1 8 8 故选D 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2019课标 19 12分 已知抛物线C y2 3x的焦点为F 斜率为 的直线l与C的交点为A B 与x 轴的交点为P 1 若 AF BF 4 求l的方程 2 若 3 求 AB 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本题主要考查抛物线的定义 几何性质 直线与抛物线相交的综合问题等内容 考查 学生运算求解的能力 以及用方程思想 数形结合思想解决问题的能力 体现了直观想象与数 学运算的核心素养 设直线l y x t A x1 y1 B x2 y2 1
3、 由题设得F 故 AF BF x1 x2 由题设可得x1 x2 由 可得9x2 12 t 1 x 4t2 0 则x1 x2 从而 得t 所以l的方程为y x 2 由 3 可得y1 3y2 由 可得y2 2y 2t 0 所以y1 y2 2 从而 3y2 y2 2 故y2 1 y1 3 五年高考 三年模拟 栏目索引 代入C的方程得x1 3 x2 故 AB 思路分析 1 由 AF BF 4确定A B两点横坐标之和 联立直线l的方程 含参 与抛物线方程 由根与系数的关系得A B两点横坐标之和的含参表达式 两者相等 列方程求出参数 2 P点在x轴上 由 3 知A B两点纵坐标的比例关系 由根与系数的关系
4、得A B两点纵 坐标之和 二者联立 确定A B的纵坐标 进而确定A B的坐标 从而求得 AB 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2019课标 21 12分 已知曲线C y D为直线y 上的动点 过D作C的两条切线 切点分 别为A B 1 证明 直线AB过定点 2 若以E 为圆心的圆与直线AB相切 且切点为线段AB的中点 求四边形ADBE的面积 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本题考查直线与抛物线相切 弦的中点 直线与圆相切等知识点 通过直线与抛物线的方 程运算 考查了学生在解析几何中的运算求解能力 以直线与抛物线相切为背景考查了数学运 算的核心素养 1 证明 设D A x1 y1 则 2y
5、1 由于y x 所以切线DA的斜率为x1 故 x1 整理得2tx1 2y1 1 0 设B x2 y2 同理可得2tx2 2y2 1 0 故直线AB的方程为2tx 2y 1 0 所以直线AB过定点 2 由 1 得直线AB的方程为y tx 由 可得x2 2tx 1 0 五年高考 三年模拟 栏目索引 于是x1 x2 2t x1x2 1 y1 y2 t x1 x2 1 2t2 1 AB x1 x2 2 t2 1 设d1 d2分别为点D E到直线AB的距离 则d1 d2 因此 四边形ADBE的面积S AB d1 d2 t2 3 设M为线段AB的中点 则M 由于 而 t t2 2 与向量 1 t 平行 所
6、以t t2 2 t 0 解得t 0或t 1 当t 0时 S 3 当t 1时 S 4 因此 四边形ADBE的面积为3或4 解题关键 1 设出A B坐标 求导 列等式是解题的突破口 2 由 1 得出AB的方程 用坐标表 示出 求AB方程中的参数是关键 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2018课标 20 12分 已知斜率为k的直线l与椭圆C 1交于A B两点 线段AB的中点为 M 1 m m 0 1 证明 k 2 设F为C的右焦点 P为C上一点 且 0 证明 成等差数列 并求该数 列的公差 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本题考查椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 等差数列的概念及其运算 1
7、 证明 设A x1 y1 B x2 y2 则 1 1 两式相减 并由 k得 k 0 由题设知 1 m 于是k 由题设得0 m 故k 2 由题意得F 1 0 设P x3 y3 则 x3 1 y3 x1 1 y1 x2 1 y2 0 0 由 1 及题设得x3 3 x1 x2 1 y3 y1 y2 2mb 0 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的短轴长为4 离心率为 1 求椭圆的方程 2 设点P在椭圆上 且异于椭圆的上 下顶点 点M为直线PB与x轴的交点 点N在y轴的负半轴 上 若 ON OF O为原点 且OP MN 求直线PB的斜率 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程
8、和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 1 设椭圆的半焦距为c 依题意 2b 4 又a2 b2 c2 可得a b 2 c 1 所以 椭圆的方程为 1 2 由题意 设P xP yP xP 0 M xM 0 设直线PB的斜率为k k 0 又B 0 2 则直线PB的方程为y kx 2 与椭圆方程联立 整理得 4 5k2 x2 20kx 0 可得xP 代入y kx 2得yP 进而直线OP的斜率 在y kx 2中 令y 0 得xM 由题意得N 0 1 所以直线 MN的斜率为 由OP MN 得 1 化简得k2 从而k 所以 直线P
9、B的斜率为 或 思路分析 1 根据条件求出基本量a b得到椭圆方程 2 要利用条件OP MN 必须求P点和M N点坐标 由直线PB的方程与椭圆方程联立得到P点 件直接应用是求解本题的突破口 再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出 PF 的长度是解决本题的关键 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2018天津 19 14分 设椭圆 1 a b 0 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的离心率为 点A的坐标为 b 0 且 FB AB 6 1 求椭圆的方程 2 设直线l y kx k 0 与椭圆在第一象限的交点为P 且l与直线AB交于点Q 若 sin AOQ O为原点 求k的值 五年高考 三
10、年模拟 栏目索引 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 1 设椭圆的焦距为2c 由已知有 又由a2 b2 c2 可得2a 3b 由已知可得 FB a AB b 由 FB AB 6 可得ab 6 从而a 3 b 2 所以 椭圆的方程为 1 2 设点P的坐标为 x1 y1 点Q的坐标为 x2 y2 由已知有y1 y2 0 故 PQ sin AOQ y1 y2 又因为 AQ 而 OAB 故 AQ y2 由 sin AOQ 可得5y1 9y2 由方程组 消去x 可得y1 五年高考 三年模拟
11、栏目索引 易知直线AB的方程为x y 2 0 由方程组 消去x 可得y2 由5y1 9y2 可得5 k 1 3 两边平方 整理得56k2 50k 11 0 解得k 或k 所以 k的值为 或 解题关键 利用平面几何知识将 sin AOQ转化为点P Q坐标间的关系是解决第 2 问的关键 方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法 1 定义法 根据椭圆的定义 确定a2 b2的值 结合焦点位置写出椭圆方程 2 待定系数法 这是求椭圆方程的常用方法 基本步骤如下 根据已知条件判断焦点的位置 根据焦点的位置设出所求椭圆的方程 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 注意c2 a2 b2的应用 解方程组 求得a
12、b的值 从而得出椭圆的方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2018江苏 18 14分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C过点 焦点F1 0 F2 0 圆O的直径为F1F2 1 求椭圆C及圆O的方程 2 设直线l与圆O相切于第一象限内的点P 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点 求点P的坐标 直线l与椭圆C交于A B两点 若 OAB的面积为 求直线l的方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本小题主要考查直线方程 圆的方程 圆的几何性质 椭圆方程 椭圆的几何性 质 直线与圆及椭圆的位置关系等知识 考查分析问题能力和运算求解能力 解法一 1 因为椭圆C的焦点为F1 0 F2 0 所以可设椭
13、圆C的方程为 1 a b 0 又点 在椭圆C上 所以 解得 因此 椭圆C的方程为 y2 1 因为圆O的直径为F1F2 所以其方程为x2 y2 3 2 设直线l与圆O相切于P x0 y0 x0 0 y0 0 则 3 所以直线l的方程为y x x0 y0 即y x 五年高考 三年模拟 栏目索引 由 消去y 得 4 x2 24x0 x 36 4 0 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点 所以 24x0 2 4 4 36 4 48 2 0 因为x0 y0 0 所以x0 y0 1 因此 点P的坐标为 1 因为三角形OAB的面积为 所以 AB OP 从而AB 设A x1 y1 B x2 y2 由 得x1
14、2 所以AB2 x1 x2 2 y1 y2 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 因为 3 所以AB2 即2 45 100 0 解得 20舍去 则 因此P的坐标为 则直线l的方程为y x 3 解法二 1 由题意知c 所以圆O的方程为x2 y2 3 因为点 在椭圆上 所以2a 4 所以a 2 因为a2 b2 c2 所以b 1 所以椭圆C的方程为 y2 1 2 由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切 且切点在第一象限 所以直线l的斜率k存在且k 0 五年高考 三年模拟 栏目索引 设直线l的方程为y kx m k0 将直线l的方程代入圆O的方程 得x2 kx m 2 3 整理得 k2 1 x2 2kmx m
15、2 3 0 因为直线l与圆O相切 所以 2km 2 4 k2 1 m2 3 0 整理得m2 3k2 3 将直线l的方程代入椭圆C的方程 得 kx m 2 1 整理得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 因为直线l与椭圆C相切 所以 8km 2 4 4k2 1 4m2 4 0 整理得m2 4k2 1 所以3k2 3 4k2 1 因为k 0 所以k 则m 3 将k m 3代入 k2 1 x2 2kmx m2 3 0 整理得x2 2 x 2 0 解得x1 x2 将x 代入x2 y2 3 解得y 1 y 1舍去 所以点P的坐标为 1 五年高考 三年模拟 栏目索引 设A x1 kx1 m B x
16、2 kx2 m 由 知m2 3k2 3 且k0 因为直线l和椭圆C相交 所以结合 的过程知m2 4k2 1 解得k 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 解得x1 2 所以 x1 x2 因为AB x1 x2 O到l的距离d 所以S OAB 解得k2 5 因为kb 0 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 已知A是抛 物线y2 2px p 0 的焦点 F到抛物线的准线l的距离为 1 求椭圆的方程和抛物线的方程 2 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直线BQ与x轴相交于点D 若 APD的面积为 求直线AP的方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本题主要考查椭圆 抛物线的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 1 设F的坐标为 c 0 依题意 a a c 解得a 1 c p 2 于是b2 a2 c2 所以 椭圆的方程为x2 1 抛物线的方程为y2 4x 2 设直线AP的方程为x my 1 m 0 与直线l的方程x 1联立 可得点P
