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1、高等数学 第一节微分方程的基本概念 第二节一阶微分方程 第三节可降阶的高阶微分方程 第四节二阶常系数线性微分方程 1 微分方程的基本概念 2 一阶微分方程 3 可降阶的高阶微分方程 4 二阶常系数线性微分方程 学习重点 第八章常微分方程 一曲线通过原点 且曲线上任一点 x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方 求此曲线方程 解 设所求曲线方程为y f x 由导数的几何意义及已知条件 得y x2 两边积分 得y 1 3x3 C 式中 C为任意常数 由于所求曲线过原点 即将y x 0 0代入式 得C 0 所以所求曲线方程为y 1 3x3 一 微分方程的引例 第一节微分方程的基本概念 1 微分方程和
2、微分方程的阶定义1若在一个方程中涉及的函数是未知的 自变量仅有一个 且在方程中含有未知函数的导数 或微分 则称这样的方程为常微分方程 简称微分方程 定义2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶 一般地 设x为自变量 y为未知函数 n阶微分方程有如下形式 F x y y y y n 0 二 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念 2 微分方程的解与通解定义3某个函数代入微分方程后 能成为自变量的恒等式 则称这个函数满足微分方程 满足微分方程的函数称为微分方程的解 因此求满足微分方程的未知函数 也就是求微分方程的解 第一节微分方程的基本概念 若微分方程的解中所含独立的
3、任意常数的个数等于这个方程的阶数 则称此解为方程的通解 当通解中各任意常数都取定值时所得的解 称为方程的特解 用来确定通解中任意常数的附加条件 称为初始条件 一个微分方程与初始条件构成的问题 称为初值问题 求解初值问题 就是求方程的特解 第一节微分方程的基本概念 在一阶微分方程中 形如dy dx f x g y 的方程 称为可分离变量的方程 其中 函数f x 和g y 都是连续函数 g y 0 将方程变为dy g y f x dx的形式 即方程各边都只含有一个变量及它的微分 这样变量就 分离 开了 再对式两边分别积分 得 1 g y dy f x dx 一 可分离变量的一阶微分方程 第二节一阶
4、微分方程 若设G y 及F x 依次为1 g y 及f x 的原函数 于是有G y F x C 可以证明 G y F x C就是两个方程的通解 值得说明的是 对方程求解时 总假设g y 0 如果g y 0 则可由方程求得其一个解为y y0 且可能它不包含在方程的通解之中 综上所述 求解可分离变量的微分方程的步骤如下 1 分离变量 2 两边积分 第二节一阶微分方程 二 一阶线性微分方程 第二节一阶微分方程 第二节一阶微分方程 第二节一阶微分方程 第二节一阶微分方程 这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数 而右端不含y 两边积分得y f x dx C1 再积分 得方程通解y f x dx
5、 dx C1x C2 其中 C1 C2为任意常数 一 y f x 类型的方程 第三节可降阶的高阶微分方程 若二阶微分方程中不显含未知函数y 则可以通过变量代换 降为一阶微分方程求解 将y 看作未知函数p x 即令y p x 则y dp dx 代入原方程得到关于x和未知函数p x 的一阶微分方程dp dx f x p 设其通解为p x C1 或y x C1 积分得原方程通解y x C1 dx C2 二 y f x y 类型的方程 第三节可降阶的高阶微分方程 若二阶微分方程中不显含自变量x 此时可将y 看作未知函数p y 即令y p y 两边对x求导得y dp dy dy dx pdp dy 代入
6、原方程得到关于y和未知函数p y 的一阶微分方程Pdp dy f y p 设其通解为p y C1 或dydx y C1 三 y f y y 类型的方程 第三节可降阶的高阶微分方程 这是关于x和未知函数y x 的可分离变量的一阶微分方程 若 y C1 0 分离变量dy y C1 dx 积分得原方程的通解 dy y C1 x C2 其中 C1 C2是任意常数 第三节可降阶的高阶微分方程 y py qy f x p q为常数 的微分方程 称为二阶常系数线性微分方程 定理1 齐次线性方程解的叠加性 若函数y1 y2是齐次线性方程的两个解 则函数y C1y1 C2y2 C1 C2为任意常数 也是方程的解
7、 定理2 齐次线性方程通解的结构 若函数y1 y2是方程的两个线性无关的特解 则y C1y1 C2y2 C1 C2为任意常数 是方程的通解 由此可见 求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解 一 二阶常系数线性微分方程通解的结构 第四节二阶常系数线性微分方程 定理3 非齐次线性方程通解的结构 设y 是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 Y是对应的齐次方程的通解 则y Y y 是非齐次方程的通解 定理4 线性非齐次方程解的叠加性 设二阶常系数非齐次线性方程的右端f x 是几个函数之和 第四节二阶常系数线性微分方程 设二阶常系数齐次线性微分方程为y py qy 0 由于方程
8、左端是未知函数y及y y 的线性代数和 所以函数y必须满足求一 二阶导数后函数形式不变 最多相差常系数 代入左端整理后才可能为零 因此 我们猜测y erx可能是方程的解 其中常数r需要待定 它表示了该解的特征 二 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 第四节二阶常系数线性微分方程 将y erx y rerx y r2erx代入方程 8 19 中 得 r2 pr q erx 0 由于erx 0 所以r2 pr q 0 若函数y erx是方程的解 则r必须满足方程 称方程为微分方程 第四节二阶常系数线性微分方程 1 f x Pm x e x型其中 Pm x 为m次多项式Pm x a0 xm a1xm
9、1 am 1x am 为常数 这时 微分方程为y py qy Pm x e x 根据方程两端的特征 可以猜想方程有形如y Q x e x的特解 其中Q x 是需待定的多项式 将y 的一阶 二阶导数y y 及y 代入方程中 得Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 式的左端应是m次多项式 三 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 第四节二阶常系数线性微分方程 2 f x e xpm x cos x或f x e xpm x sin x型设方程y py qy e xpm x cos x 或y py qy e xpm x sin x 其中 p q 0均为常数 pm x 为m次多项式 可以证明 从略 方程具有形如y xke x Qm x cos x Rm x sin x 的特解 其中Qm x Rm x 为待定m次多项式 而k的取值根据 i 是否为特征方程r2 pr q 0的根而取1或0 第四节二阶常系数线性微分方程 设曲线y f x 经过点 1 1 且满足dydx x y 求方程y f x 思考题 第八章常微分方程 谢谢观看
