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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(供文科考生使用)参考公式:如果事件互斥,那么 球的表面积公式 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径第一部分 (选择题 共60分)注意事项:1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、设集合,则( )A、 B、 C、 D、答案D解析集合A中包含a,b两个元素,集合B中包含b,c,d三个元素,共有
2、a,b,c,d四个元素,所以点评本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识.2、的展开式中的系数是( )A、21 B、28 C、35 D、42答案A解析二项式展开式的通项公式为=,令k=2,则点评高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,
3、25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为( )A、101 B、808 C、1212 D、2012答案B解析N=点评解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.4、函数的图象可能是( )答案C解析采用特殊值验证法. 函数恒过(1,0),只有C选项符合.点评函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.5、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )A、 B、 C、 D、答案B点评注意恒等式sin2+cos2=1的使用,需要用的的范围决定其正余弦值的正负情况.6、下列命题正确的是( )A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线
4、平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行答案C解析若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(
5、 )A、且 B、 C、 D、答案D解析若使成立,则选项中只有D能保证,故选D.点评本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.8、若变量满足约束条件,则的最大值是( )A、12 B、26 C、28 D、33答案C解析目标函数可以变形为,做函数的平行线,当其经过点B(4,4)时截距最大时,即z有最大值为=.点评解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).9、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )A、 B、 C、
6、D、答案B解析设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )A、 B、 C、 D、答案A 解析以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则A点评本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点
7、考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )A、28条 B、32条 C、36条 D、48条答案B解析方程变形得,若表示抛物线,则所以,分b=-2,1,2,3四种情况:(1)若b=-2, ; (2)若b=2, 以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.综上,共有14+9+9=32种点评此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.12、设函数,是公差不为0的等差数列,则(
8、 )A、0 B、7 C、14 D、21答案D解析是公差不为0的等差数列,且点评本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.第二部分 (非选择题 共90分)注意事项:(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。(2)本部分共10个小题,共90分。二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)13、函数的定义域是_。(用区间表示)答案() 解析由分母部分的1-2x0,得到x
9、().点评定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是_。答案90解析方法一:连接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1,又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夹角为90方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故,所以,cos = 0,故D
10、ND1M,所以夹角为90点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.15、椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_。答案 解析根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.16、设为正实数,现有下列命题:若,则;若,则;若,则;若,则。其中的真命题有_。(写出所有真命题的编号)答案 解析若a,b都小于1,则a-b1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a
11、-b1,则|a-b|1 若a,b都小于1,则|a-b|1,所以正确.综上,真命题有 .点评此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。()若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;()求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件
12、C,那么1-P(C)=1-P= ,解得P=6 分 (2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,那么P(D)=答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. 12分.点评本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.18、(本小题满分12分) 已知函数。()求函数的最小正周期和值域;()若,求的值。解析(1)由已知,f(x)= 所以f(x)的最小正周期为2,值域为。6分(2)由(1)知,f()= 所以cos()。 所以 ,12分点评本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.19、(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,点在平面内的射影在上。()求直线与平面所成的角的大小;()求二面角的大小。解析(1)连接OC. 由已知,所成的角设AB的中点为D,连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为等边三角形,不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4.所以CD=2,OC=.在Rttan.6分(2)过D作DE于E,连接CE.