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1、专业.专注高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲 几何不等式班级 姓名 一、知识要点:1Ptolemy(托勒密)不等式若ABCD为四边形,则ABCD+ADBC ACBD。等号成立时A,B,C,D四点共圆 2ErdosMordell(埃尔多斯莫德尔)不等式设P是ABC内任意一点,P到ABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z2*(p+q+r) 证明:因为P,E,A,F四点共圆,PA为直径,则有:EF=PA*sinA。 在PEF中,据余弦定理得: EF2=q2+r2-2*q*r*cos(-A)=q2+r2-2*q*r*cos(B+
2、C) =(q*sinC+r*sinB)2+(q*cosC-r*cosB)2(q*sinC+r*sinB)2, 所以PA*sinAq*sinC+r*sinB,即PA=xq*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。同理可得: PB=yr*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2), PC=zp*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。 由(1)+(2)+(3)得:x+y+zp*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)2*(p+q+r)。命题成立。
3、 3Weitzenberk(外森比克)不等式:若为三角形三边长,是三角形面积, 则:。等号成立当且仅当为等边三角形。 证明:只需证明,只需证明,成立。4Euler(欧拉)不等式设ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则R2r,当且仅当ABC为正三角形时取等号。 5等周定理(等周不等式)周长一定的所有图形中,圆的面积最大;面积一定的所有图形中,圆的周长最小。 周长一定的所有n边形中,正n边形的面积最大;面积一定的所有n边形中,正n边形的周长最小。6Fermat(费马)问题 到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不超过的三角形,费尔马点是对各边的张角都是的点。 对于一个
4、顶角超过的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点。二、例题精析:例1. 如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,B=60,AC,A 的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE; (2) 2RIO+IA+IC三、精选习题:1如图,在ABC中,P为边BC上任意一点,PEBA,PFCA,若SABC=1, 证明:SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 (SXYZ表示多边形XYZ的 面积)2设凸四边形ABCD的面积为1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出 四个点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于3在圆O内,弦CD平行于弦EF,且与直径AB交成45角,若CD与
5、EF分别 交直径AB于P和Q,且圆O的半径为1,求证:PCQE+PDQF2 四、拓展提高:4设一凸四边形ABCD,它的内角中仅有D是钝角,用一些直线段将该凸四边 形分割成n个钝角三角形,但除去A、B、C、D外,在该四边形的周界上, 不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n45已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且 |AE|=|BF|=|CD|=1,连结AD、BE、CF,交成RQS点P在RQS内及边上 移动,点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z(1)求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;(2)求上述乘积xyz的极小值高二数学竞赛班二
6、试平面几何讲义第十讲 几何不等式例1. 如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,B=60,AC,A的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE; (2) 2RIO+IA+ICOH=2R设OHI=,则030IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45)又+4575,故IO+IA+IC0时,点M在O外,此时,直线l与O相离; 当k=0时,点M在O上,此时,直线l与O相切; 当k0时,aBQbAP0,k=0时,aBQbAP=0,k0时,aBQbAP0时,bCRcBQ0,k=0时,bCRcBQ =0,k0时,bCRcBQ 0时,aCRcAP0,k=0时,aCRcAP
7、 =0,k0时,aCRcAP 0时,ABCR+BCAPACBQ0;当k=0时,ABCR+BCAPACBQ=0,当k0时,ABCR+BCAPACBQ证明:作ABC及PQR的高CN、RH设ABC的周长为1则PQ=则=,但AB,APABPQ,AC,从而1如图,在ABC中,P为边BC上任意一点,PEBA,PFCA,若SABC=1,证明:SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于(SXYZ表示多边形XYZ的面积)证明:如图,三等分BC于M、N,若点P在BM上(含点M),则由于PEAB,则CPECBACPCB于是SPCE同理,若P在NC上(含点N),则SBPF若点P在线段MN上连EF,设=r(r),
8、则=1rSBPF=r2,SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r)2+,则A、B、C、D即为所求 若SABD,取BCD的重心G,则以B、C、D、G这4点中的任意3点为顶点的三角形面积 若SABD=,其余三个三角形面积均 SABD=由于SABC+SACD=1,而SACD,故SABCSABD,从而SABESABD=SACE=SABE,SBCE=SABC即A、B、C、E四点即为所求 若SABD=,其余三个三角形中还有一个的面积=,这个三角形不可能是BCD,(否则ABCD的面积=),不妨设SADC= SABD=则ADBC,四边形ABCD为梯形由于SABD=,S
9、ABC=,故若AD=a,则BC=3a,设梯形的高=h,则2ah=1设对角线交于O,过O作EFBC分别交AB、CD于E、F AEEB=AOOC=ADBC=13 EF=SEFB=SEFC=ah=ah=SEBC=SFBC=3ah=ah=于是B、C、F、E四点为所求综上可知所证成立又证:当ABCD为平行四边形时,A、B、C、D四点即为所求当ABCD不是平行四边形,则至少有一组对边的延长线必相交,设延长AD、BC交于E,且设D与AB的距离SABCD=即(a+2a)h,ah SAPQ=SBPQ=ahSPAB=SQAB=ah即A、B、Q、P为所求 若EDAE,取AE中点P,则P在线段DE上,作PRBC交CD于R,ANBC,交CD于N,由于EAB+EBASABCD=1问题化为上一种情况3在圆O内,弦CD平行于弦