《高等数学武大社课件第四章中值定理与导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学武大社课件第四章中值定理与导数的应用（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学 第一节中值定理 第二节洛必达法则 第三节函数单调性的判定法 第四节函数的极值及其求法 第五节函数的最大值和最小值 第六节曲线的凹凸性与拐点 第七节函数图形的描绘 1 中值定理的概念 2 函数单调性的判定法 3 函数的极值及其求法 学习重点 第四章中值定理与导数的应用 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且在区间端点的函数值相等 即f a f b 那么在 a b 内至少有一点 使得函数f x 在该点的导数等于零 f 0 一 罗尔定理 第一节中值定理 罗尔定理中f a f b 这个条件是相当特殊的 它使罗尔定理的应用受到限制 如果把f a f b 这个条件
2、取消 但仍保留其余两个条件 并相应地改变结论 那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 那么在 a b 内至少有一点 使等式f b f a f b a 4 1 成立 二 拉格朗日中值定理 第一节中值定理 由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论 推论1设函数f x 在区间I内恒有f x 0 那么在区间I内函数f x C 其中C为常数 推论2设f x g x 是在I内的可导函数 若f x g x 则f x g x C 其中C为常数 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位 有时也叫作微分中值定理 f b f a f
3、 b a 叫作拉格朗日中值公式 第一节中值定理 如果函数f x 及F x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且F x 在 a b 内的每一点处均不为零 那么在 a b 内至少有一点 使等式成立 三 柯西中值定理 第一节中值定理 定理1 洛必达法则 如果函数f x g x 满足条件 一 0 0型未定式 第二节洛必达法则 对于x x0时的 型未定式 也有相应的洛必达法则定理2如果f x g x 满足条件 那么对于x 时的 型未定式 上述法则也同样适用 二 型未定式 第二节洛必达法则 定理设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 那
4、么函数y f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 那么函数y f x 在 a b 上单调减少 第三节函数单调性的判定法 证明设x x 是 a b 上的任意两点 且x x 函数f x 在区间 x x 上满足拉格朗日中值定理的条件 应用拉格朗日中值定理 有f x f x f x x x x 若f x 0 则f 0 又因为x x 0 所以由上式得f x f x 即函数f x 在 a b 上单调增加 若f x 0 则函数f x 在 a b 上单调减少 这个结论同样适用于开区间 a b 或无限区间 第三节函数单调性的判定法 如果函数f x 在区间 a b 内的个别点的导数为零
5、其余的点都有f x 0 或f x 0 那么f x 在 a b 内仍是单调增加 或单调减少 例如 y x 的导数为y 3x 当x 0时 y 0 在其余点均有y 0 故它在 内是单调递减的 第三节函数单调性的判定法 定义设函数f x 在区间 a b 内有定义 x a b 如果对于点x 近旁的任意点x x x0 均有f x f x 成立 则称f x 是函数f x 的一个极大值 点x 称为f x 的一个极大值点 如果对于点x 近旁的任意点x x x 均有f x f x 成立 则称f x 是函数f x 的一个极小值 点x0称为f x 的一个极小值点 一 函数极值的定义 第四节函数的极值及其求法 函数的极
6、大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点 第四节函数的极值及其求法 定理1说明可导函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点并不一定是极值点 例如 x 0是函数f x x3的驻点 但x 0不是它的极值点 借助图形来分析一下函数f x 在点x0取得极值时 点x0左右两侧导数f x 的符号变化的情况 函数f x 在点x0取得极大值 在点x0的左侧单调增加 有f x 0 在点x0的右侧单调减少 有f x 0 对于函数在点x0取得极小值的情形 二 函数极值的判定和求法 第四节函数的极值及其求法 由此可给出函数在某点处取得极值的充分条件 第四节函数的极值及其求法 定理2 第一充分
7、条件 设函数f x 在点x0及其近旁可导 且f x0 0 1 如果当x取x0左侧邻近的值时 恒有f x 0 当x取x0右侧邻近的值时 恒有f x 0 那么函数f x 在点x0处取得极大值f x0 2 如果当x取x0左侧邻近的值时 恒有f x 0 当x取x0右侧邻近的值时 恒有f x 0 那么函数f x 在点x0处取得极小值f x0 3 如果在x0的两侧 函数的导数符号相同 那么函数f x 在点x0处没有极值 当函数f x 在驻点处的二阶导数存在且不为零时 也可以利用下列定理来判定f x 在驻点处取得极大值还是极小值 第四节函数的极值及其求法 定理3 第二充分条件 设函数f x 在点x0处具有二
8、阶导数且f x0 0 f x0 0 那么 1 f x0 0时 函数f x 在点x0处取得极大值 2 f x0 0时 函数f x 在点x0处取得极小值 第四节函数的极值及其求法 根据上面三个定理 如果函数f x 在所讨论的区间内各点处都具有导数 我们就以下列步骤来求函数f x 的极值点和极值 1 求出函数f x 的定义域 2 求出函数f x 的导数f x 3 求出f x 的全部驻点 即求出方程f x 0在所讨论的区间内的全部实根 4 用驻点把函数的定义域划分为若干个部分区间 考察每个部分区间内f x 的符号 以确定该驻点是否为极值点 如果是极值点 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值
9、5 求出各极值点处的函数值 就得到了函数f x 的全部极值 第四节函数的极值及其求法 我们知道 闭区间 a b 上的连续函数f x 一定有最大值和最小值存在 显然 这个最大值和最小值只能在区间 a b 内的极值点或者区间的端点处取得 因此 求闭区间上连续函数的最大值和最小值时 只要把可能取得极值的点 驻点和不可导的点 与区间端点的函数值比较大小即可 最大的就是f x 在 a b 上的最大值 最小的就是f x 在 a b 上的最小值 一 函数的最大值和最小值的求法 第五节函数的最大值和最小值 在实际问题中 常要遇到在一定条件下 怎样使产量最多 用料最省 成本最低等问题 这类问题常可归结为求函数的
10、最大值或最小值问题 二 最大值和最小值的应用问题 第五节函数的最大值和最小值 定义若在开区间 a b 内 曲线y f x 的各点处切线都位于曲线的下方 则称此曲线在 a b 内是凹的 若曲线y f x 的各点处切线都位于曲线的上方 则称此曲线在 a b 内是凸的 曲线y f x 在区间 a c 内是凸的 在区间 c b 内是凹的 再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现 曲线y f x 在区间 a c 内从左至右切线的斜率是递减的 在区间 c b 内从左至右切线的斜率是递增的 联系函数增减性的判别方法 我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理 一 曲线的凹凸性及其判别法 第六节曲线的凹凸性与拐点
11、定理设函数y f x 在开区间 a b 内具有二阶导数 则 1 如果在区间 a b 内f x 0 则曲线y f x 在 a b 内是凹的 2 如果在区间 a b 内f x 0 则曲线y f x 在 a b 内是凸的 第六节曲线的凹凸性与拐点 定义若连续曲线y f x 上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点 则称该点是曲线y f x 的拐点 判定曲线的拐点的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求出二阶导数f x 令f x 0 求出定义域内的所有实根 指出f x 不存在的点 用这些点来划分定义域 3 列表讨论f x 在各个区间f x 的符号和f x 的凹凸性 4 确定y f x 的拐点
12、二 曲线的拐点 第六节曲线的凹凸性与拐点 1 确定函数的定义域 并讨论函数的有界性 周期性 奇偶性等 2 求f x f x 解出f x 0及f x 0在定义域内的全部实根及一阶 二阶导数不存在的点 3 列表讨论f x f x 的符号 从而确定函数的单调性 凹凸性 极值和拐点 4 计算一些必要的辅助点 5 讨论曲线的渐近线 6 描出函数图象 一 描绘函数图形的一般步骤 第七节函数图形的描绘 定义如果曲线y f x 的定义域是无限区间 且有limx f x b或limx f x b 则直线y b为曲线y f x 的水平渐近线 如果曲线y f x 有limx x0 f x 或limx x0 f x 则直线x x0是曲线y f x 的垂直渐近线 二 曲线的渐近线 第七节函数图形的描绘 要做一底面为长方形的带盖的箱子 其体积为72cm3 两底边之比为2 1 问边长为多少时用料最省 思考题 第四章中值定理与导数的应用 谢谢观看
