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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十四）考点14极限数学归纳法 数列的极限函数的极限函数的连续性数学归纳法在数列中的应用数列的极限函数的极限函数的连续性经典易错题会诊命题角度 1数学归纳法1（典型例题）已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；()设bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|, 对n=1,2都成立，求a的取值范围。考场错解 ()由，存在，且A=（A0）,对aa+1=a+两边取极限得，A=a+. 解得A=又A0, A=()由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.即对
2、n=1,2都成立。()对n=1,2,|bn|，则取n=1时，,得,解得。专家把脉 第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代bn.对症下药 () ()同上。()令|b1|,得现证明当时，对n=1,2,都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。(ii)假设当n=k(k1)时结论成立，即，那么故只须证明，即证A|bk+A|2对a成立由于而当a时，而当a时，即A|bk+A|2.故当a时，即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|对n=1,2,都成立的a的取值范围为2(典型例题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2
3、an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。考场错解 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想an= 当n=1时，a1=3,结论成立； 假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。专家把脉 应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(
4、n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。对症下药 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.将a2=代入得a3=a2=,a4=a3=,由此猜想an=下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时，a1=,猜想成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以ak+1=这表明，当n=k+1时结论也成立。由，可知，猜想对nN*都成立。3
5、（典型例题）已知不等式+log2n,其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b0),an,n=2,3,4,.()证明：an，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an10=1024.取N=1024,有an.专家把脉 （1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。对症下药 （）证法1：当n2时，0an,于是有，所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，a1b,an10,n210
6、=1024,故取N=1024，可使当nN时 ,都有an0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（+1, -1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案： An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0） a1=1,b1=2且，分子分母乘以（）及3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1
7、的关系式；答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-解得an= （2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：a=S1=1-ba1-由此猜想an=把a1=代入上式得an= （3）当0b0,b0).()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。（）求。考场错解 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=() =a.专家把脉 （）问运用错位相减时忽视a=1的情况。（）a=b是（）的条件，当ab时，极限显然不一定是a.对症下药 （）当a=b时，un=(n+1)a
8、n.这时数列un的前n项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3+an-(n+1)an+1若a1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+aSn=若a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=()由（），当a=b时，un=(n+1)an,则=a.当ab时，un=an+an-1b+abn-1+bn=an1+=或ab0, =若ba0, =专家会诊1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限C=C.(C为常数). =0.qn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=1
9、1.(1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11,公差d=的前12项最大，最大为144.（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为q=,Sn=4 设an=1+q+q2+qn-1(nN+,q)，An=C1na1+C2na+Cnnan (1)用q和n表示An;答案：q1, an=(2)当-3q1时，求lim的值；答案：|1,=命题角度 3函数的极限1（典型例题）若（）=1，则常数a,b的值为 （ ）Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4考场错解 A =故能约去（1-x）, a=-2,b=4.专家把脉 （ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。对症下药 C =故ax
