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1、五年高考 三年模拟 栏目索引 第九章 直线与圆的方程 9 1 直线方程与圆的方程 高考文数 课标专用 五年高考 三年模拟 栏目索引 2018课标全国 20 12分 设抛物线C y2 4x的焦点为F 过F且斜率为k k 0 的直线l与C交于A B两点 AB 8 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 五年高考 A组 统一命题 课标卷题组 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 1 由题意得F 1 0 l的方程为y k x 1 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 由 得k2x2 2k2 4 x k2 0 16k2 16 0 故x1 x2 所以 AB AF BF x1 1 x2
2、 1 由题设知 8 解得k 1 舍去 或k 1 因此l的方程为y x 1 2 由 1 得AB的中点坐标为 3 2 所以AB的垂直平分线方程为y 2 x 3 即y x 5 设所求圆的圆心坐标为 x0 y0 五年高考 三年模拟 栏目索引 则 解得 或 因此所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 16或 x 11 2 y 6 2 144 方法总结 有关抛物线的焦点弦问题 常用抛物线的定义进行转化求解 在求解过程中应重视 利用根与系数的关系进行整体运算的方法和技巧 一般地 求直线和圆的方程 常利用待定系数 法 五年高考 三年模拟 栏目索引 B组 自主命题 省 区 市 卷题组 考点一 直线的方程与两直线
3、的位置关系 2016四川 10 5分 设直线l1 l2分别是函数f x 图象上点P1 P2处的切线 l1与l2垂直 相交于点P 且l1 l2分别与y轴相交于点A B 则 PAB的面积的取值范围是 A 0 1 B 0 2 C 0 D 1 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 A 设l1是曲线y ln x 0 x1 的切线 切点P2 x2 y2 则易知l1 y y1 x x1 l2 y y2 x x2 得x 易知A 0 y1 1 B 0 y2 1 l1 l2 1 x1x2 1 S PAB AB x y1 y2 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 又 0 x11 x1x2 1 x1 x2 2 2 0 S
4、 PAB0 五年高考 三年模拟 栏目索引 6 2016天津 12 5分 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上 点M 0 在圆C上 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆C的方程为 答案 x 2 2 y2 9 解析 设圆C的方程为 x a 2 y2 r2 a 0 由题意可得 解得 所以圆C的方程为 x 2 2 y2 9 方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法 一般步骤为 设出圆的方程 列出关于系 数的方程组 并求出各系数的值 检验各值是否符合题意 并写出满足题意的圆的方程 有时 也可利用圆的几何性质进行求解 五年高考 三年模拟 栏目索引 7 2015湖北 16 5分 如图 已知圆C与x轴相切于点T
5、 1 0 与y轴正半轴交于两点A B B在A的上 方 且 AB 2 1 圆C的标准方程为 2 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 1 解析 1 记AB的中点为D 在Rt BDC中 易得圆C的半径r BC 因此圆心C的坐标为 1 所以圆C的标准方程为 x 1 2 y 2 2 2 因为点B的坐标为 0 1 C的坐标为 1 所以直线BC的斜率为 1 所以所求切线的斜率为1 由点斜式得切线方程为y x 1 故切线在 x轴上的截距为 1 五年高考 三年模拟 栏目索引 8 2015广东 20 14分 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两
6、点A B 1 求圆C1的圆心坐标 2 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 3 是否存在实数k 使得直线L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不 存在 说明理由 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 1 由已知得 圆C1的标准方程为 x 3 2 y2 4 所以圆C1的圆心坐标为 3 0 2 由题意可知 直线l的斜率必存在 设直线l的方程为y tx A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 线段AB的中点M x0 y0 将y tx代入圆C1的方程 整理得 1 t2 x2 6x 5 0 则有x1 x2 所以x0 代入直线l的方程 得y0 因为 3x0 所以 又因为方程
7、1 t2 x2 6x 5 0有两个不相等的实根 所以 36 20 1 t2 0 解得t2 所以 0且a 1 的图象必过点A 则过点A且 与直线2x y 3 0平行的直线方程是 答案 2x y 6 0 解析 由题意可得A 2 2 所求直线与直线2x y 3 0平行 所求直线斜率为 2 所求直线方程为y 2 2 x 2 即2x y 6 0 思路分析 由题意可得函数y loga x 1 2 a 0且a 1 的图象必过点A 2 2 结合点斜式得到 所求直线的方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 考点三 圆的方程 1 2019河北石家庄一模 8 已知圆C截两坐标轴所得弦长相等 且圆C过点 1 0 和 2
8、3 则圆C 的半径为 A 8 B 2 C 5 D 答案 D 解法一 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 圆C经过点 1 0 和 2 3 a b 2 0 又圆C截两坐标轴所得弦长相等 a b 由 得a b 1 圆C的半径为 故选D 解法二 圆C经过点M 1 0 和N 2 3 圆心C在线段MN的垂直平分线 y x 2上 又圆C截两坐 标轴所得弦长相等 圆心C到两坐标的距离相等 圆心C在直线y x上 直线y x和直线y x 2平行 圆心C为直线y x和直线y x 2的交点 1 1 圆C的半径为 故选D 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2018湖北荆州二模 8 圆 x 1 2 y
9、 1 2 2关于直线y kx 3对称 则k的值是 A 2 B 2 C 1 D 1 答案 B 圆 x 1 2 y 1 2 2关于直线y kx 3对称 直线y kx 3过圆心 1 1 即1 k 3 解得k 2 故选B 3 2018山西孝义一模 8 已知P为直线x y 2 0上的点 过点P作圆O x2 y2 1的切线 切点为M N 若 MPN 90 则这样的点P有 A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个 答案 B 连接OM ON 则OM ON MPN ONP OMP 90 四边形OMPN为正方形 圆O的半径为1 OP 原点 圆心 O到直线x y 2 0的距离为 符合条件的点P只有一个 故选B 五年
10、高考 三年模拟 栏目索引 4 2019河北五个一名校联盟一诊 7 已知点P为圆C x 1 2 y 2 2 4上一点 A 0 6 B 4 0 则 的最大值为 A 2 B 4 C 2 4 D 2 2 答案 C 取AB中点D 2 3 则 的最大值为圆心C 1 2 与D 2 3 的距离d再加半径r 又d d r 2 2 的最大值为2 4 故选C 思路分析 取AB中点D 则 的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再 乘2 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2019湖北 荆 荆 襄 宜四地七校考试联盟 期末 15 已知圆C经过直线x y 2 0与圆x2 y2 4的交点 且圆C的圆心在直线2x y 3 0上
11、则圆C的方程为 答案 x 3 2 y 3 2 34 解析 设所求圆的方程为 x2 y2 4 a x y 2 0 a 0 即x2 y2 ax ay 4 2a 0 圆心为 圆心在直线2x y 3 0 0 a 6 圆的方程为x2 y2 6x 6y 16 0 即 x 3 2 y 3 2 34 思路分析 设所求圆的方程为 x2 y2 4 a x y 2 0 a 0 即x2 y2 ax ay 4 2a 0 由圆心在直 线2x y 3 0求出a的值 即可求出圆的方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 6 2019福建厦门一模 15 在 ABC中 AB 4 AC 2 A 动点P在以点A为圆心 半径为1的圆上 则
12、的最小值为 答案 5 2 解析 如图 以点A为原点 AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系 五年高考 三年模拟 栏目索引 则A 0 0 B 4 0 C 1 设P x y 则 4 x y 1 x y 4 x 1 x y y x2 5x y2 y 4 3 其中 表 示圆A上的点P与点M 之间距离 PM 的平方 由几何图形可得 PM min AM 1 1 1 min 1 2 3 5 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 B组 2017 2019年高考模拟 专题综合题组 时间 30分钟 分值 50分 一 选择题 每题5分 共35分 1 2018福建闽侯期末 8 若圆 过点 0 1 0 5 且被直线x y
13、0截得的弦长为2 则圆 的方程 为 A x2 y 2 2 9或 x 4 2 y 2 2 25 B x2 y 2 2 9或 x 1 2 y 2 2 10 C x 4 2 y 2 2 25或 x 4 2 y 2 2 17 D x 4 2 y 2 2 25或 x 4 2 y 1 2 16 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 A 由于圆 过点 0 1 0 5 所以圆心在直线y 2上 设圆心坐标为 a 2 由题意得 解得a 0或a 4 当a 0时 圆心坐标为 0 2 半径为3 当a 4时 圆心坐标为 4 2 半径为5 所以圆 的方程为x2 y 2 2 9或 x 4 2 y 2 2 25 故选A 五年高考
14、 三年模拟 栏目索引 2 2017河南安阳二模 5 若平面内A 1 a B 2 a2 C 3 a3 三点共线 则a A 1 或0 B 或0 C D 或0 答案 A 平面内A 1 a B 2 a2 C 3 a3 三点共线 kAB kAC 即 即a a2 2a 1 0 解得a 0或a 1 故选A 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2018安徽安庆模拟 8 设两条直线的方程分别为x y a 0和x y b 0 已知a b是关于x的方程x2 x c 0的两个实根 且0 c 则这两条直线间距离的最大值为 A B C D 答案 B 因为a b是关于x的方程x2 x c 0的两个实根 所以a b 1 ab
15、c 因为直线x y a 0和x y b 0之间的距离d 所以d2 因为0 c 所以 1 4c 1 所以 即d2 所以这两条直线之间的距离的最大值为 故选B 关键点拨 利用a b是关于x的方程x2 x c 0的实根得出a b 1 ab c 写出两平行线之间距离 的表达式 然后求解即可 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2017广东广州一模 7 已知动直线l0 ax by c 2 0 a 0 c 0 恒过点P 1 m 且Q 4 0 到动直线l0 的最大距离为3 则 的最小值为 A B C 1 D 9 答案 B 动直线l0 ax by c 2 0 a 0 c 0 恒过点P 1 m a bm c 2
16、0 又Q 4 0 到动直线l0的最大距离为3 3 解得m 0 a c 2 又a 0 c 0 a c 当且仅当c 2a 时取等号 故选B 思路分析 由题意可得a bm c 2 0 又由Q 4 0 到动直线l0的最大距离为3 可得 3 解得m 0 则a c 2 再利用 乘1法 与基本不等式即可得出答案 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2019广东揭阳一模 12 已知点P在直线x 2y 1 0上 点Q在直线x 2y 3 0上 M x0 y0 为PQ的 中点 且y0 2x0 1 则 的取值范围是 A B C 0 D 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 B 因直线x 2y 1 0与x 2y 3 0平行 故点M的轨迹是与两直线距离相等且平行于两直线的直线 其方程为x 2y 1 0 即点M x0 y0 满足x0 2y0 1 0 而满足不等式y0 2x0 1的点在直线y 2x 1的上方 易得直线x 2y 1 0与y 2x 1的交点为 故问题转化为求射线 不含端点 x0 2y0 1 0 上的点M x0 y0 与坐标原点 0 0 连线的斜 率 即 的取值范围 故 kOM 故选B 五年高考 三年模拟 栏目
