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1、 2 3二次函数与幂函数 高考理数 课标 专用 五年高考 自主命题 省 区 市 卷题组 考点一二次函数1 2017浙江 5 4分 若函数f x x2 ax b在区间 0 1 上的最大值是M 最小值是m 则M m A 与a有关 且与b有关B 与a有关 但与b无关C 与a无关 且与b无关D 与a无关 但与b有关 答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值 二次函数的图象 考查数形结合思想和分类讨论思想 解法一 令g x x2 ax 则M m g x max g x min 故M m与b无关 又a 1时 g x max g x min 2 a 2时 g x max g x min 3 故M m与a有关
2、故选B 解法二 1 当 1 即a 2时 f x 在 0 1 上为减函数 M m f 0 f 1 a 1 2 当 1 即 2 a 1时 M f 0 m f 从而M m f 0 f b a2 3 当0 即 1 a 0时 M f 1 m f 从而M m f 1 f a2 a 1 4 当 0 即a 0时 f x 在 0 1 上为增函数 M m f 1 f 0 a 1 即有M m M m与a有关 与b无关 故选B 2 2015四川 9 5分 如果函数f x m 2 x2 n 8 x 1 m 0 n 0 在区间上单调递减 那么mn的最大值为 A 16B 18C 25D 答案B当m 2时 f x n 8 x
3、 1在区间上单调递减 则n 82时 f x 的图象开口向上 要使f x 在区间上单调递减 需 2 即2m n 12 而2m n 2 所以mn 18 当且仅当即时 取 此时满足m 2 故 mn max 18 故选B 3 2019浙江 16 4分 已知a R 函数f x ax3 x 若存在t R 使得 f t 2 f t 则实数a的最大值是 答案 解析本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识 以三次函数为背景 对不等式化简变形 考查学生运算求解能力 将不等式有解问题转化为函数值域 最值 问题 考查学生的化归与转化思想 数形结合思想 突出考查了数学运算的核心素养 f t 2 f t a
4、t 2 3 t 2 at3 t 6at2 12at 8a 2 3at2 6at 4a 1 3at2 6at 4a 1 a 3t2 6t 4 3t2 6t 4 3 t 1 2 1 1 若存在t R 使不等式成立 则需a 0 故a 3t2 6t 4 a 只需 a 即可 0 a 故a的最大值为 疑难突破能够将原绝对值不等式化繁为简 将问题简化为一元二次不等式有解问题 再进一步转化为值域交集非空是求解本题的关键 考点二幂函数 2018上海 7 5分 已知 若幂函数f x x 为奇函数 且在 0 上递减 则 答案 1 解析本题主要考查幂函数的性质 幂函数f x x 为奇函数 可取 1 1 3 又f x
5、x 在 0 上递减 0 则幂函数的图象过原点 并且在区间 0 上为增函数 如果 0 则幂函数的图象在区间 0 上为减函数 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 C组教师专用题组考点一二次函数1 2015陕西 12 5分 对二次函数f x ax2 bx c a为非零 四位同学分别给出下列结论 其中有且只有一个结论是错误的 则错误的结论是 A 1是f x 的零点B 1是f x 的极值点C 3是f x 的极值D 点 2 8 在曲线y f x 上 答案A由已知得 f x 2ax b 则f x 只有一个极值点 若A B正确 则有解得b 2a c 3a 则f x ax2 2ax 3a
6、 由于a为非零整数 所以f 1 4a 3 则C错 而f 2 3a 8 则D也错 与题意不符 故A B中有一个错误 C D都正确 若A C D正确 则有由 得代入 中并整理得9a2 4a 0 又a为非零整数 则9a2 4a为整数 故方程9a2 4a 0无整数解 故A错 若B C D正确 则有解得a 5 b 10 c 8 则f x 5x2 10 x 8 此时f 1 23 0 符合题意 故选A 2 2013重庆 3 5分 6 a 3 的最大值为 A 9B C 3D 答案B易知函数y 3 a a 6 的两个零点是3 6 其图象的对称轴为a y 3 a a 6 的最大值为3 则的最大值为 选B 3 20
7、14大纲全国 16 5分 若函数f x cos2x asinx在区间是减函数 则a的取值范围是 答案 2 解析f x cos2x asinx 1 2sin2x asinx 令t sinx x 则t 原函数化为y 2t2 at 1 由题意及复合函数单调性的判定可知y 2t2 at 1在上是减函数 结合二次函数图象可知 所以a 2 4 2014辽宁 16 5分 对于c 0 当非零实数a b满足4a2 2ab 4b2 c 0且使 2a b 最大时 的最小值为 答案 2 解析设2a b t 则2a t b 由已知得关于b的方程 t b 2 b t b 4b2 c 0有解 即6b2 3tb t2 c 0
8、有解 故 9t2 24 t2 c 0 所以t2 c 所以 t max 此时c t2 b t 2a t b 所以a 故 8 8 2 2 所以 的最小值为 2 5 2015浙江 18 15分 已知函数f x x2 ax b a b R 记M a b 是 f x 在区间 1 1 上的最大值 1 证明 当 a 2时 M a b 2 2 当a b满足M a b 2时 求 a b 的最大值 解析 1 证明 由f x b 得对称轴为直线x 由 a 2 得 1 故f x 在 1 1 上单调 所以M a b max f 1 f 1 当a 2时 由f 1 f 1 2a 4 得max f 1 f 1 2 即M a
9、b 2 当a 2时 由f 1 f 1 2a 4 得max f 1 f 1 2 即M a b 2 综上 当 a 2时 M a b 2 2 由M a b 2得 1 a b f 1 2 1 a b f 1 2 故 a b 3 a b 3 由 a b 得 a b 3 当a 2 b 1时 a b 3 f x x2 2x 1 此时易知 f x 在 1 1 上的最大值为2 即M 2 1 2 所以 a b 的最大值为3 考点二幂函数1 2014浙江 7 5分 在同一直角坐标系中 函数f x xa x 0 g x logax的图象可能是 答案D因为a 0 所以f x xa在 0 上为增函数 故A错 在B中 由f
10、 x 的图象知a 1 由g x 的图象知01 矛盾 故C错 在D中 由f x 的图象知0 a 1 由g x 的图象知0 a 1 相符 故选D 2 2014上海 9 4分 若f x 则满足f x 0的x的取值范围是 答案 0 1 解析令y1 y2 则f x 0即为y1 y2 函数y1 y2 的图象如图所示 由图象知 当0 x 1时 y1 y2 所以满足f x 0的x的取值范围是 0 1 考点一二次函数1 2018湖北荆州模拟 8 二次函数f x 满足f x 2 f x 2 f 0 3 f 2 1 若在 0 m 上有最大值3 最小值1 则m的取值范围是 A 0 B 2 C 0 2 D 2 4 三年
11、模拟 A组2017 2019年高考模拟 考点基础题组 答案D 二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 其图象的对称轴是x 2 又f 0 3 f 4 3 又f 2 f 0 f x 的图象开口向上 f 0 3 f 2 1 f 4 3 f x 在 0 m 上的最大值为3 最小值为1 由二次函数的性质知2 m 4 故选D 2 2018河南南阳模拟 9 设函数f x mx2 mx 1 若对于x 1 3 f x m 4恒成立 则实数m的取值范围为 A 0 B C 0 D 答案Df x m 4对于x 1 3 恒成立即m x2 x 1 5对于x 1 3 恒成立 当x 1 3 时 x2 x 1 1 7 不等
12、式f x m 4等价于m 当x 3时 取最小值 若要不等式m 对于x 1 3 恒成立 则必须满足m 因此 实数m的取值范围为 故选D 3 2019河北唐山模拟 7 已知函数f x x2 ax 6 g x x 4 若对任意x1 0 存在x2 1 使f x1 g x2 则实数a的最大值为 A 6B 4C 3D 2 答案A由题意可知问题转化为f x max g x max f x x2 ax 6 x2 ax 6 6 当x 0 即a 0时 f x 在 0 上单调递减 f x 0 即a 0时 f x max f 6 而g x x 4在 1 上单调递增 故g x max g 1 3 故或解得a 6 所以a
13、的最大值是6 故选A 4 2019广东珠海模拟 6 已知函数y x2 4x 5在闭区间 0 m 上有最大值5 最小值1 则m的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 4 答案D设y f x x2 4x 5 函数y f x x2 4x 5在闭区间 0 m 上有最大值5 最小值1 f x 的图象的对称轴方程为x 2 f 2 4 8 5 1 f 0 f 4 5 2 m 4 m的取值范围是 2 4 故选D 5 2019福建莆田二模 14 若函数f x ax2 2a 1 x a 1对于x 1 1 时恒有f x 0 则实数a的取值范围是 答案 解析 f x 0 a x 1 2 x 1 当x
14、 1时 a R 当x 1 1 时 a 恒成立 a 综上可得a 考点二幂函数1 2017江西九江七校联考 4 幂函数f x m2 4m 4 在 0 上为增函数 则m的值为 A 1或3B 1C 3D 2 答案B由题意知m2 4m 4 1且m2 6m 8 0 m 1 选B 2 2019湖北荆门一模 4 已知点在幂函数f x 的图象上 则f x 是 A 奇函数B 偶函数C 定义域内的减函数D 定义域内的增函数 答案A设幂函数y f x x 把代入函数解析式中 得2 解得 1 幂函数f x x 1 x 0 0 f x 是定义域上的奇函数 且在定义域的每个区间内是单调减函数 故选A 3 2019河南濮阳二
15、模 4 已知函数f x m2 m 1 是幂函数 且其图象与两坐标轴都没有交点 则实数m A 1B 2C 3D 2或 1 答案A 函数f x m2 m 1 是幂函数 m2 m 1 1 解得m 2或m 1 当m 2时 f x x5 其图象与两坐标轴有交点 不合题意 当m 1时 f x 其图象与两坐标轴都没有交点 符合题意 故m 1 故选A B组2017 2019年高考模拟 专题综合题组时间 30分钟分值 30分一 选择题 每题5分 共15分 1 2019广东揭阳一模 3 已知幂函数f x 的图象过点 则f 8 的值为 A B C 2D 8 答案A设f x x 幂函数f x x 的图象过点 2 f
16、x f 8 故选A 2 2018福建模拟 3 已知a 0 40 3 b 0 30 4 c 0 3 0 2 则 A b a cB b c aC c b aD a b c 答案A 1 a 0 40 3 0 30 3 b 0 30 4 c 0 3 0 2 1 b a c 故选A 思路分析根据指数函数以及幂函数的单调性即可判断 方法归纳幂值比较大小的常用方法有 底数相同 运用相应函数单调性比较大小 底数不同 运用中间值比较大小 3 2018山东烟台模拟 5 定义在R上的奇函数f x 在 0 上是增函数 则使得f x f x2 2x 2 成立的x的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 1 D 2 答案A因f x 是R上的奇函数且在 0 上是增函数 所以函数f x 在 0 上也是增函数 则函数在R上为增函数 f x f x2 2x 2 x x2 2x 2 x2 3x 2x2 2x 2 由此解得x的取值范围即可得答案 方法点拨利用函数单调性解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号 f 变函数不等式为一般不等式 去掉 f 时 要注意f x 的定义域限制 二 填空题 每题5分 共5分 4 20
