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1、 7 2简单的线性规划 高考文数 课标专用 考点一简单的线性规划问题 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 1 2017课标全国 7 5分 设x y满足约束条件则z x y的最大值为 A 0B 1C 2D 3 答案D解法一 作出约束条件表示的可行域如图 平移直线x y 0 可得目标函数z x y在A 3 0 处取得最大值 zmax 3 故选D 解法二 由约束条件画出可行域 图略 求出三个顶点的坐标为 3 0 1 0 分别代入目标函数z x y 得到zmax 3 故选D 2 2017课标全国 7 5分 设x y满足约束条件则z 2x y的最小值是 A 15B 9C 1D 9 答案A根据线性约束条件
2、画出可行域 如图 作出直线l0 y 2x 平移直线l0 当经过点A时 目标函数取得最小值 由得点A的坐标为 6 3 zmin 2 6 3 15 故选A 解题关键正确画出可行域 找到最优解是求解关键 3 2017课标全国 5 5分 设x y满足约束条件则z x y的取值范围是 A 3 0 B 3 2 C 0 2 D 0 3 答案B由题意 画出可行域 如图中阴影部分所示 易知A 0 3 B 2 0 由图可知 目标函数z x y在点A B处分别取得最小值与最大值 zmin 0 3 3 zmax 2 0 2 故z x y的取值范围是 3 2 故选B 4 2019课标全国 13 5分 若变量x y满足约
3、束条件则z 3x y的最大值是 答案9 解析本题考查简单的线性规划问题 以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力 考查数学运算的核心素养 作出可行域 如图阴影部分所示 易得A 3 0 B 1 2 C 0 2 将z 3x y化为y 3x z 由图知 当直线y 3x z经过点A 3 0 时 截距 z取得最小值 从而z取得最大值 zmax 3 3 9 易错警示因为目标函数中y的系数为负值 所以容易理解为在点C处取得最大值 导致错误 5 2018课标全国 14 5分 若x y满足约束条件则z 3x 2y的最大值为 答案6 解析本题主要考查线性规划 由x y满足的约束条件画出对应
4、的可行域 如图中阴影部分所示 由图知当直线3x 2y z 0经过点A 2 0 时 z取得最大值 zmax 2 3 6 规律总结线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 1 求线性目标函数的最值 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得 所以对于一般的线性规划问题 我们可以直接解出可行域的顶点 然后将坐标代入目标函数求出相应的数值 从而确定目标函数的最值 2 由目标函数的最值求参数 求解线性规划中含参问题的基本方法有两种 一是把参数当常数用 根据线性规划问题的求解方法求出最优解 代入目标函数确定最值 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围 二是先分离含有参数的式子 通过观察的方法
5、确定含参的式子所满足的条件 确定最优解的位置 从而求出参数 6 2018课标全国 14 5分 若x y满足约束条件则z x y的最大值为 答案9 解析本题考查简单的线性规划 由约束条件画出可行域 如图所示的阴影部分 由图可知 当直线x y z 0经过点A 5 4 时 z x y取得最大值 最大值为9 7 2018课标全国 15 5分 若变量x y满足约束条件则z x y的最大值是 答案3 8 2016课标全国 14 5分 若x y满足约束条件则z x 2y的最小值为 答案 5 解析解法一 由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 包括边界 当直线x 2y z 0过点B 3 4 时 z取得最小值
6、 zmin 3 2 4 5 解法二 易知可行域为封闭区域 所以线性目标函数的最值在交点处取得 易求得交点分别为 3 4 1 2 3 0 依次代入目标函数可求得zmin 5 9 2016课标全国 13 5分 设x y满足约束条件则z 2x 3y 5的最小值为 答案 10 解析可行域如图所示 包括边界 直线2x y 1 0与x 2y 1 0相交于点 1 1 当目标函数线过 1 1 时 z取最小值 zmin 10 10 2015课标 15 5分 若x y满足约束条件则z 3x y的最大值为 答案4 解析由线性约束条件画出可行域 如图 解方程组得即A点坐标为 1 1 当动直线3x y z 0经过点A
7、1 1 时 z取得最大值 zmax 3 1 1 4 解后反思当可行域是一个封闭的三角形区域时 将三角形的顶点坐标代入目标函数可快速得到答案 考点二线性规划的实际应用 2016课标全国 16 5分 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品A需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品B需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品A的利润为2100元 生产一件产品B的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的条件下 生产产品A 产品B的利润之和的最大值为元 答案216000 解析设生产产品Ax件
8、 生产产品By件 利润之和为z元 则z 2100 x 900y 根据题意得即作出可行域 如图中的整点 由得当直线2100 x 900y z 0过点A 60 100 时 z取得最大值 zmax 2100 60 900 100 216000 故所求的最大值为216000元 方法点拨解决此类问题的关键 一是构建模型 二是判断二元一次不等式组表示的平面区域 三是掌握求线性目标函数最值的一般步骤 一画二移三求 B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 2016浙江 4 5分 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间 则这两条平行直线间的距离的最小值是 A B C D
9、答案B作出可行域如图 由得A 2 1 由得B 1 2 斜率为1的平行直线l1 l2分别过A B两点时它们之间的距离最小 过A 2 1 的直线l1 y x 1 过B 1 2 的直线l2 y x 1 此时两平行直线间的距离d 故选B 2 2015重庆 10 5分 若不等式组表示的平面区域为三角形 且其面积等于 则m的值为 A 3B 1C D 3 答案B如图 要使不等式组表示的平面区域为三角形 则 2m 1 所围成的区域为 ABC S ABC S ADC S BDC 点A的纵坐标为1 m 点B的纵坐标为 1 m C D两点的横坐标分别为2 2m 所以S ABC 2 2m 1 m 2 2m 1 m 1
10、 m 2 解得m 3 舍去 或m 1 故选B 考点二简单的线性规划问题1 2019天津 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z 4x y的最大值为 A 2B 3C 5D 6 答案C本题主要考查简单的线性规划问题 通过求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能力 体现了数学运算的核心素养 作出可行域 如图阴影部分 平移直线 4x y 0可知 目标函数z 4x y在P点处取最大值 由得P 1 1 zmax 4 1 1 5 故选C 解题反思对于目标函数z Ax By 当B 0时 目标直线向上平移 z变大 当B 0时 目标直线向下平移 z变大 2 2019浙江 3 4分 若实数x y满足约束条
11、件则z 3x 2y的最大值是 A 1B 1C 10D 12 答案C本题考查简单的线性规划问题 考查学生的运算求解的能力 体现了数学运算的核心素养 根据题意画出不等式组所表示的平面区域 如图阴影部分所示 画出直线l0 3x 2y 0 平移l0可知 当l0经过点C 2 2 时 z取最大值 即zmax 3 2 2 2 10 故选C 一题多解根据线性约束条件得出平面区域为 ABC及其内部 如上图所示 其中A 1 1 B 1 1 C 2 2 经检验 知目标直线经过点C 2 2 时 z取最大值10 故选C 3 2018天津 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z 3x 5y的最大值为 A 6B 1
12、9C 21D 45 答案C本题主要考查线性目标函数最值的求解 由变量x y满足的约束条件画出可行域 如图阴影部分所示 作出基本直线l0 3x 5y 0 平移直线l0 当经过点A 2 3 时 z取最大值 zmax 3 2 5 3 21 故选C 4 2017北京 4 5分 若x y满足则x 2y的最大值为 A 1B 3C 5D 9 答案D本题考查简单的线性规划 作出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分 令z x 2y 当z x 2y过A点时 z取最大值 由得A 3 3 z的最大值为3 2 3 9 故选D 5 2017山东 3 5分 已知x y满足约束条件则z x 2y的最大值是 A 3B 1C
13、1D 3 答案D本题考查简单的线性规划 画出可行域如图 作直线l0 y x 经平移可得z x 2y在点A处取得最大值 由解得A 1 2 所以zmax 1 2 2 3 故选D 6 2017浙江 4 5分 若x y满足约束条件则z x 2y的取值范围是 A 0 6 B 0 4 C 6 D 4 答案D本题考查线性规划中可行域的判断 最优解的求法 不等式组形成的可行域如图所示 平移直线y x 当直线过点A 2 1 时 z有最小值4 显然z没有最大值 故选D 7 2015广东 4 5分 若变量x y满足约束条件则z 2x 3y的最大值为 A 2B 5C 8D 10 答案B作出不等式组所表示的平面区域 如
14、图 z 2x 3y可化为y x 当直线y x 经过点A 4 1 时 z最大 最大值为2 4 3 1 5 选B 8 2019北京 10 5分 若x y满足则y x的最小值为 最大值为 答案 3 1 解析本题考查了简单的线性规划 考查了数形结合的思想方法 核心素养体现了直观想象 由线性约束条件画出可行域 为图中的 ABC及其内部 易知A 1 1 B 2 1 C 2 3 设z y x 平移直线y x 0 当直线过点C时 zmax 3 2 1 当直线过点B时 zmin 1 2 3 解题关键正确画出可行域是求解的关键 9 2018浙江 12 6分 若x y满足约束条件则z x 3y的最小值是 最大值是
15、答案 2 8 解析本小题考查简单的线性规划 由约束条件得可行域是以A 1 1 B 2 2 C 4 2 为顶点的三角形区域 含边界 如图 当直线y x 过点C 4 2 时 z x 3y取得最小值 2 过点B 2 2 时 z x 3y取得最大值8 思路分析 1 作出可行域 并求出顶点坐标 2 平移直线y x 当在y轴上的截距最小时 z x 3y取得最小值 当在y轴上的截距最大时 z x 3y取得最大值 考点三线性规划的实际应用1 2015陕西 11 5分 某企业生产甲 乙两种产品均需用A B两种原料 已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产1吨甲 乙产品可获利润分别为3万
16、元 4万元 则该企业每天可获得最大利润为 A 12万元B 16万元C 17万元D 18万元 答案D设该企业每天生产甲产品x吨 乙产品y吨 获利z万元 则由题设可得z 3x 4y 画出可行域 图略 利用线性规划知识可求得zmax 18 故选D 2 2017天津 16 13分 电视台播放甲 乙两套连续剧 每次播放连续剧时 需要播放广告 已知每次播放甲 乙两套连续剧时 连续剧播放时长 广告播放时长 收视人次如下表所示 已知电视台每周安排的甲 乙连续剧的总播放时间不多于600分钟 广告的总播放时间不少于30分钟 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍 分别用x y表示每周计划播出的甲 乙两套连续剧的次数 1 用x y列出满足题目条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 2 问电视台每周播出甲 乙两套连续剧各多少次 才能使总收视人次最多 2 设总收视人次为z万 则目标函数为z 60 x 25y 考虑z 60 x 25y 将它变形为y x 这是斜率为 随z变化的一族平行直线 为直线在y轴上的截距 当取得最大值时 z的值最大 又因为x y满足约束条件 所以由图2可知 当直线z 60 x 25
