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1、 清华大学本科生考试试题专用纸清华大学本科生考试试题专用纸 多元微积分期末考题多元微积分期末考题 A 系名系名 班级班级 姓名姓名 学号学号 一一 填空题填空题 每空每空 3 3 分分 共共 1515 空空 请将答案直接填写在横线上请将答案直接填写在横线上 1 1 设 0 1 2222 yxzyxzyx dzdydxzyxfI 化为柱坐标 下的累次积分 I 2 设曲线L的参数方程为txsin1 tycos21 20 t 则第一类曲线积分 L dlxx22 2 3 设 S 为单位球面 222 1xyz 则 2 1 S xdS 4 V x y zxyz xyyzzx xyz 则divV 5 zyx
2、 ezyxf 则grad f rot grad f 6 设函数 2 2f xxx 在区间 2 0 上的Fourier展开为 0 1 cos sin 2 nn n a S xanxbn x 则 0 S 7 三重积分 1 10110099 222 zyx dxdydzzyx 8 级数 1 1 2 n n n 的和为 9 函数 x 1 1 在0 2x 点的 Taylor 级数为 10 第二类曲线积分 22 0 L x dyydx xy 对上半平面的任意光滑闭曲线L都成立 则常数 11 S 为球面 222 1xyz 的外侧 则第二类曲面积分 cos S xdydzydzdxdxdy 第 页 共 页 1
3、2 函数 0 sin x t f xdt t 在 0 0 x 点的幂级数展开为 13 设幂级数 1 n n xa n 在3x 处收敛 且当3x 时发散 则a 14 设 2 01 1 Dx yxxy 则D的形心横坐标x 二二 计算题计算题 每题 10 分 共 40 分 1 设 S为锥面 10 22 zyxz的下侧 求 S dxdzzydzdyyx 2 2 求两个球体 222 1xyz 222 2 4xyz 相交部分的体积 3 设 22 sin f xx I 求 f x在 0 0 x 点的幂级数展开 II 求 0 1 2 3 n fn 4 设 1 0 nx n f xnex 求 ln3 ln2 f x dx 三三 证明题证明题 1 9 分 I 2 为周期的函数 f x在 上的定义为 cosf xx 不是整数 将其展成 Fourier 级数 提示 1 cos coscos cos 2 xyxyxy II 利用 I 证明 222 1 12 cot 0 1 2 n x xxkk xxn 2 6 分 设函数 1 2 P x y Q x yC 在以任意点 00 xy为中心 任意正数r为 半径的上半圆周 上的第二类曲线积分 0P x y dxQ x y dy 求证 在 2 上有 0 0 Q P x yx y x 提示 用 Green 公式 第 页 共 页 L 00 xy D
