《【清华】Exp-06【GHOE】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【清华】Exp-06【GHOE】（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 大学数学实验大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验6 非线性方程求解实验6 非线性方程求解 清 华 大 学 数 学 科 学 系清 华 大 学 数 学 科 学 系 什么叫方程 组 什么叫方程 组 方程 包含未知数 或方程 包含未知数 或 和未知函数 的等式 方程组 包含未知数 或 和未知函数 的等式 方程组 包含未知数 或 和未知函数 的一组等式 不包含未知函数的方程组的一般形式 和未知函数 的一组等式 不包含未知函数的方程组的一般形式 F x 0 x x1 x2 xn T F x f1 x f2 x fm x T 一般一般m n 满足方程 组 的未知数的取
2、值称为方程 组 的 解 或称为 满足方程 组 的未知数的取值称为方程 组 的 解 或称为F x 的零点 单变量方程 一元方程 的零点 单变量方程 一元方程 f x 0 解解 也称为也称为 根根 非线性方程的特点非线性方程的特点 方程根的特点 方程根的特点 n次代数方程有且只有次代数方程有且只有n个根个根 包括复根 重根包括复根 重根 5次以上的代数方程无求根公式 次以上的代数方程无求根公式 超越方程有无根 有几个根通常难以判断 超越方程有无根 有几个根通常难以判断 方程分类 方程分类 代数方程代数方程 a0 xn a1xn 1 an 0 超越方程 包含超越函数超越方程 包含超越函数 如如sin
3、x lnx 的方程 的方程 非线性方程 非线性方程 n 2 次代数方程和超越方程 次代数方程和超越方程 实验6的基本内容实验6的基本内容 3 实际问题中非线性方程的数值解 1 非线性方程 3 实际问题中非线性方程的数值解 1 非线性方程 f x 0 的数值解法 0 的数值解法 迭代方法的基本原理 迭代方法的基本原理 牛顿法 拟牛顿法 2 推广到解非线性方程组 4 非线性差分方程与分岔及混沌现象 牛顿法 拟牛顿法 2 推广到解非线性方程组 4 非线性差分方程与分岔及混沌现象 实例1 路灯照明实例1 路灯照明 道路两侧分别安装路灯 在漆黑的夜晚 当两只路灯开启时 两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮
4、的点在哪里 道路两侧分别安装路灯 在漆黑的夜晚 当两只路灯开启时 两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里 h2 P2 P1 s h1 如果如果P2的高度可以在的高度可以在3米到米到9米之间变化 如何使路面上最暗 点的亮度最大 米之间变化 如何使路面上最暗 点的亮度最大 如果两只路灯的高度均可以在如果两只路灯的高度均可以在3米到米到9米之间变化呢 米之间变化呢 s 20 米米 P1 2 P2 3 千瓦千瓦 h1 5 h2 6 米米 实例1 路灯照明实例1 路灯照明 建立坐标系如图 两个光源在点建立坐标系如图 两个光源在点Q x 0 的照度分别为的照度分别为 k是由量纲单位决定的比 例系数
5、不妨记 是由量纲单位决定的比 例系数 不妨记k 1 2 2 22 2 2 1 11 1 sin sin r P kI r P kI 点点Q的照度的照度 22 2 2 2 22 1 2 1 xshrxhr x x 2 1 O h2 P2 r1 P1 s r2 h1 y Q 22 1 1 1 1 1 sin xh h r h 22 2 2 2 2 2 sin xsh h r h 3 22 2 22 3 22 1 11 xsh hP xh hP xC 2 实例1 路灯照明实例1 路灯照明 为求最暗点和最亮点 先求为求最暗点和最亮点 先求C x 的驻点的驻点 x x 2 1 O h2 P2 r1 P1
6、 s r2 h1 y 令令C x 0 解析解是难以求出 需数值求解 解析解是难以求出 需数值求解 Q 3 22 2 22 3 22 1 11 xsh hP xh hP xC 5 22 2 22 5 22 1 11 33 xsh xshP xh xhP xC 实例2 均相共沸混合物的组分实例2 均相共沸混合物的组分 均相共沸混合物 均相共沸混合物 homogeneous azeotrope 是由两种或两种以 上物质组成的液体混合物 当在某种压力下被蒸馏或局部汽化 时 在气体状态下和在液体状态下保持相同的组分 比例 给定几种物质 如何确定它们构成均相共沸混合物时的比例 设该混合物由 是由两种或两种
7、以 上物质组成的液体混合物 当在某种压力下被蒸馏或局部汽化 时 在气体状态下和在液体状态下保持相同的组分 比例 给定几种物质 如何确定它们构成均相共沸混合物时的比例 设该混合物由n个可能的物质组成 物质个可能的物质组成 物质i所占的比例为所占的比例为xi 模型建立模型建立 0 1 1 i n i i xx 实例2 均相共沸混合物的组分实例2 均相共沸混合物的组分 均相共沸混合物应该满足均相共沸混合物应该满足稳定条件稳定条件 即共沸混合物的每个组分 在气体和液体状态下具有相同的化学势能 在压强 即共沸混合物的每个组分 在气体和液体状态下具有相同的化学势能 在压强P不大的情 况下 这个条件可以表示
8、为 不大的情 况下 这个条件可以表示为 Pi 是物质是物质i的饱和汽相压强 与温度的饱和汽相压强 与温度T有关 可以如下确定 有关 可以如下确定 niPP ii 1 L ni cT b aP i i ii 1 lnL 是组分是组分i的液相活度系数 可以根据如下表达式确定的液相活度系数 可以根据如下表达式确定 i ni qx qx qx n j n k jkk jij n j ijji 1 ln1ln 1 1 1 L qij表示组分表示组分i与组分与组分j的交互作用参数 可以通过实验近似得到的交互作用参数 可以通过实验近似得到 ai bi ci是常数是常数 实例2 均相共沸混合物的组分实例2 均
9、相共沸混合物的组分 iiP P i i ii cT b aP ln n j n k jkk jij n j ijji qx qx qx 1 1 1 ln1ln 只有当物质只有当物质i参与到该共沸混合物中时才需要满足上式 故得到参与到该共沸混合物中时才需要满足上式 故得到 0ln1ln 1 1 1 Pa qx qx qx cT b i n j n k jkk jij n j ijj i i 0ln1ln 1 1 1 Pa qx qx qx cT b x i n j n k jkk jij n j ijj i i i nixx i n i i 2 1 0 1 1 解析解是难以求 出 需数值求解 解
10、析解是难以求 出 需数值求解 根的隔离 二分法 解方程 根的隔离 二分法 解方程 f x 0第一步第一步 确定根的大致范围确定根的大致范围 图形法 作图形法 作f x 图形 观察图形 观察f x 与与x轴的交点轴的交点 非线性方程的基本解法非线性方程的基本解法 2 1 5 1 0 500 511 522 5 50 40 30 20 10 0 10 20 30 01281362 2346 xxxxx 图形法图形法 有有4个根分别位于个根分别位于 x 1 75 0 75 1 00 2 40附近附近 Exam0600 m 若对于ba 有0 bfaf 则在 ba内 xf 至少有一个零点 即0 xf至少
11、有一个根 二分法 的原理 二分法 的原理 二分法 的实现 二分法 的实现 不足不足收敛速度较慢收敛速度较慢 0 bf 0 0 xf LL 11nn bababa 011 xbaa bbxa 101 区间每次缩小一半 区间每次缩小一半 n足 够大时 可确定根的范围 足 够大时 可确定根的范围 ab xf xxab xf 0 x 0 x 中点中点 0 bax 非线性方程的基本解法非线性方程的基本解法 3 例1例1014 2 xxxf 2 1 14 xxx 迭代公式 2 1 14 kk xx 1 14 2 xxx 迭代公式 1 14 1 kk xx 12 14 2 3 xxxxxx 迭代公式 12
12、14 2 1 kkkkk xxxxx 6 4 2 3 ff 4 3 x存在根 xx 非线性方程迭代法的基本思想非线性方程迭代法的基本思想 将原方程0 xf改写成容易迭代的形式 xx 选 合适的初值 0 x 进行迭代 2 1 0 1 L kxx kk x0 x1x2x3x4x5 1 3 00005 0000 11 0000 107 0000 2 3 00003 50003 11113 40543 17793 3510 3 3 00003 28573 27493 27493 27493 2749 1 根本不收敛 2 虽呈现收敛趋势 但很慢 3 收敛很快 2749 3 2 571 2 41411 2
13、 1 xx 非线性方程的迭代法 例 非线性方程的迭代法 例 迭代法的几何解释迭代法的几何解释 y x x x y y x 0 x1x0 P0 x0 x1 x2 P1 x1 x2 x3 P2 P3 x yy x y x 0 x x0 x1x2x3 P0 P1 P3 xk 收敛于收敛于x xk 不收敛于不收敛于x 取决于曲线取决于曲线 x 的斜率的斜率 xx 不动点L 1 0 1 kxx kk 迭代法的收敛性迭代法的收敛性 设 xy 在bxa 连续 且bya 若存在1 L使 Lx 则 xx 在bxa 有唯一解 x 且 1 对于 0 bax 迭代公式 2 1 0 1 L kxx kk 产生 的序列
14、k x收敛于 x 2 01 1 1 xx L L xxxxLxx k kkk 局部收敛性局部收敛性 只要 x 在 x的一个邻域连续且 1 tol abs x k x k 1 x k feval fv x k feval df x k b x k 1 x k k k 1 if k n error Error Reached maximum iteration times break end end y x k 1 if nargout 1 z k 1 end fv是f x 的函数句柄 df是f x 的函数句柄 求解求解f x 0的的newton m文件文件 Newton m xx k newto
15、n inline x 3 2 x 5 inline 3 x 2 2 0 5 100 1e 6 newton run m 1 42 2 2 2 1 2 2 2 1 xxxx解例 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 xx xx xF xx xx xF kkk xFxxF L 1 0 1 kxxx kkk T x 1 1 0 取 kxk 0 1 000000 1 000000 1 1 750000 1 250000 2 1 589286 1 225000 3 1 581160 1 224645 4 1 581139 1 224745 5 1 581139 1 224745 T T
16、 x 22474487 1 58113883 1 2 3 2 5 精确解 演示演示 exam0602Newton m exam0602Fsolve m exam0602Solve m 实例1 路灯照明实例1 路灯照明 0 33 5 22 2 22 5 22 1 11 xsh xshP xh xhP xC 2065 32 21 21 shh PP 05101520 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 C x 05101520 4 2 0 2 4 6x 10 3 dC x 3 22 2 22 3 22 1 11 xsh hP xh hP xC C x 有有3个驻点个驻点 9 10 内的是最小点 内的是最小点 0或或20附近的是最大点附近的是最大点 实例1 路灯照明实例1 路灯照明 function y zhaoming x y 2 5 x 5 2 x 2 5 2 3 6 20 x 6 2 20 x 2 5 2 x0 0 10 20 for k 1 3 x k fzero zhaoming x0 k c k 2 5 5 2 x k 2 3 2 3 6 6 2 20 x k 2
