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1、七年级专题1与全等相关的几何公式“中点、中点、平行”三元素的二推一例1 已知在ABC中，ABAC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DFEF，求证：BDCE证明：法一过E作AB的平行线，交BC的延长线于F（在FB上取FGFC，联结DC）可证FDBFEH（ASA或AAS）HBACHECH，BDHECEHEBDCE法二：延长FC到H，使FHFB，联结EH例2 如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，求证：FAFE证明：法一延长AD到G，使DGDA，联结BG，可证DBGDCA（SAS）BGACBE，CADGBEGAEFFAFE法二：延长
2、AD到H，使DHDE，联结CH，可证DCHDBE（SAS）CHBEAC，CADHBEDAEFFAFE例3 如图，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且ACAB请用尽可能多的方法证明：CE2CD方法一：延长CD到F，使DFDC，联结BF可证DCADFB（SAS）BFACBECBEBCA+ACBA+ABFCBFCBECBF（SAS）CECF2CD方法二：延长CD到F，使DFDC，联结AF可证DCBDFA（SAS）BCAFCBEBCA+BACCBA+BACFAD+BACCAFCBEFAC（SAS）CECF2CD取CE中点G，联结BG利用中位线定理，可证ACBG，AC2BG，方法三：可证CB
3、DCBG（SAS），CGCD，CE2CG2CD；方法四：可证GBEDAC（SAS），EGCD，CE2EG2CD；取AC中点H，联结BH利用中位线定理，可证CEBH，CE2BH，方法五：可证BCHCBD（SAS），BHCD，CE2CD；方法六：可证ABHACD（SAS），BHCD，CE2CD；2构造全等倍长中线例1 ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围.延长AD到E，使DEAD，联结CE，（或过C作AB的平行线，交AD延长线于E）可证DCEDBA，CEAB5，在ACE中，CEACAECEAC，22AD8，1AD4方法二：1点C旋转到线段AB上，BCABAC2，AD为边BC上中线，即点D
4、为线段BC中点，BDCD1，ADCD+AC42点C旋转到线段BA延长线上时，BCABAC8，AD为边BC上中线，即点D为线段BC中点，BDCD4，ADCDAC1，综上所述：1AD4.例2 已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，过D作DFAB交AE于点F，DFAC.求证：AE平分BAC延长FE到H，使EHFE，联结CH，（或过C作DF的平行线，交FE延长线于H）（或过D作AC的平行线，交AE延长线于G）可证ECHEDF（SAS）CHDFAC，ABDF，BAEDFEHCAE，AE平分BAC例3 如图：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等
5、腰直角三角形求证：EF2AD延长AD到G，使DGAD，联结BG，可证DBGDCA（SAS）EAF+BAC180（圆周角360）,ABG+BAC180（两直线平行，同旁内角互补）EAFABG（同角的补角相等）可证ABGEAF（SAS）EFAG2AD例4 在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAEEAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论延长DF，交AE延长线于G，可证EABECG（AAS或ASA）GBAEFAE，ABCG，AFGF，ABCGGF+CFAF+CF.联结FE，延长交AB于H，可证EBHECF（AAS或ASA）EHEF，CF
6、BH可证AEHAEF（中线+角平分线等腰+高）AHAF，ABAH+BHAF+CF.3构造全等截长补短例1 已知，如图，在四边形ABCD中，BCAB，ADDC，BD平分ABC求证：BADBCD180法一：在BC上截取BEBA，联结DE，可证BDEBDA（SAS），DEDADC，ADEB，DECC（等边对等角），DEB+DEC180，A+C180（等量代换）法二：在射线BA上截取BFBC，联结DF，可证BDCBDF（SAS），DFDCDA，CF，DAFF（等边对等角），DAB+DAF180，DAB+C180（等量代换）例2 如图所示：在ABC中，12，B2C，求证：ACABBD法一：在AC上截取A
7、EAB，联结DE，可证ADEADB（SAS），ABAE，BDDE，AEDB，可证CEDC，DECE（等角对等边），ACAE+CEAB+BD（等量代换）方法二：在AB延长线上截取AFAC，联结DF，可证ADFADC（SAS），ACAF，CF，可证FBDF，BFBD（等角对等边），ACAFAB+BFAB+BD（等量代换）例3 已知：ABC中，A108，ABAC，BD平分ABC求证：BCABCD方法一：在BC上截取BEBA，联结DE，可证BADBED（SAS），ABBE，ABED108，可证CDECED，CDCE（等角对等边），BCBE+CEABCD（等量代换）例4 如图，ABC中，ABC60，AD
8、、CE分别平分BAC，ACB，判断AC的长与AECD的大小关系并证明O作AOC的平分线交AC于F，1+2+3+4180-60120可求2+360AOC120，AOECOD60（邻补角的意义）AOFCOF60（角平分线的意义）可证AOEAOF（ASA），CODCOF（ASA），AEAF，CDCF，ACAF+CFAE+CD.4与等腰相关的几何公式“角平分、平行、等腰”三元素的二推一例1 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC的平分线交CD的中点E，求证：ADBCAB证明：延长BE、AD交于F，可证EBCEFD（AAS或ASA）中点+平行全等中点DFBCABFCBEFABAF角平分+平行等腰AD+
9、DFAD+BC证明：过E作BC的平行线交AB于G，可证GEBCAD（平行的传递性）DECEAGBG（平行线分线段成比例）2GEAD+BC（梯形中位线定理）可证GEBGAGAB2GEAD+BC例2 如图，在梯形ABCD中，ADBC，CDADBC，M是AB的中点，求证：DMCM证明：延长DM、CB交于E，可证MADMBE（AAS或ASA）MDME，ADBECDAD+BCBE+BCCEDMCM（等腰三角形三线合一）例3 已知：如图，ADBC，点E在线段CD上，AE、BE分别平分BAD、ABC求证：（1）CEDE；（2）ABADBC证明：延长AE、BC交于F，可证BAEDAEF，BABF（等角对等边）
10、AEFE（等腰三角形三线合一）可证EADEFC（AAS或ASA）CEDE，ABBFCF+BCAD+BC例4 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABADBC，M是CD的中点，求证：AM、BM分别平分DAB和CBA方法：延长AM交BC延长线于E，可证ADMECM，可证BAE为等腰三角形，可证AM、BM分别平分DAB和CBA5“等腰三角形三线合一”及其推论“等腰、中线、角平分线、高”四元素的二推二例1 如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BECF与EF的大小BE+CFFPEF.延长ED至P，使DPDE，联结FP，CP，D是BC的中点，BDCD，在BDE和CDP中，DP
11、DEEDBCDPBDCDBDECDP(SAS)，BECP，DEDF，DEDP，FDEFDP在CFP中，CP+CFBE+CFFPEF.例2 如图，已知ABC中，A90，ABAC，BE平分ABC，CEBD于E，求证：BD2CE证明：所示，延长BA，CE交于点F，ABD+ADB90,CDE+ACF90，ABDACF，又ABAC，在ABD和ACF中，DBAACFABACBADCAF，ABDACF，BDCF，在FBE和CBE中，BD平分ABC，BCFF，BEC90，BEFBEC90，BEBE，FBECBE，EFEC，CF2CE，即BD2CE.例3 如图所示ACB3B，12，CDAD于D求证：ABAC2CD
