《【清华】6.5_实验III-插值与数值积分【GHOE】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【清华】6.5_实验III-插值与数值积分【GHOE】（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实验实验 IIIIII 插值与数值积分插值与数值积分 化工系化工系 分分 7 7 陈龙陈龙 20070118322007011832 实验目的实验目的 1 掌握用 MATLAB 计算拉格朗日 分段线性 三次样条三种插值的方法 改变节点 的数目 对三种插值结果进行初步分析 2 掌握用 MATLAB 及梯形公式 辛普森公式计算数值积分 3 通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题 实验内容实验内容 一 问题问题 1 4 选择一些函数 在 n 个节点上 n 不要太大 如 5 11 用拉格朗日 分段线性 三次 样条三种插值方法 计算 m 个插值点的函数值 m 要适中 如 50 100 通过数值和图形
2、输出 将三种插值结果与精确值进行比较 适当增加 n 再作比较 由此作初步分析 函数 22 exp 2 xxy 问题解答 取 9 个节点 即以 2 为首项 公差为 0 5 的等差数列 所求插值点设为 51 个 即以 2 为首项 公差为 0 08 的等差数列 原函数计算及插值计算如下 程序 给定节点 x0 2 0 5 2 y0 exp x 2 插值点 x 2 0 08 2 原函数值 y exp x 2 y1 lagr x0 y0 x 拉格朗日插值结果 y2 interp1 x0 y0 x 分段线性插值结果 y3 spline x0 y0 x 三次样条插值结果 plot x y k hold on
3、plot x y1 r hold on plot x y2 b hold on plot x y3 g hold off gtext 黑色 原函数 gtext 红色 拉格朗日插值 gtext 蓝色 分段线性插值 gtext 绿色 三次样条插值 xlabel X Fontsize 18 ylabel Y Fontsize 18 输出数据如表 1 1 所示 表表 1 11 1 1 1 给定给定节点节点 n 9n 9 x0 2 1 5 1 0 500 511 52 y00 01830 10540 36790 77881 00000 77880 36790 10540 0183 表表 1 11 1 2
4、 2 插值点插值点 m 51m 51 x 2 1 92 1 84 1 76 1 68 1 6 1 52 1 44 1 36 1 28 y0 01830 02510 03390 04520 05950 07730 09920 12570 15730 1943 y10 01830 00160 00570 02170 04410 07000 09800 12840 16160 1986 y20 01830 03220 04620 06010 07400 08800 10190 13690 17890 2209 y30 01830 02270 03040 04160 05660 07570 09890
5、 12660 15890 1961 x 1 2 1 12 1 04 0 96 0 88 0 8 0 72 0 64 0 56 0 48 y0 23690 28530 33910 39790 46100 52730 59550 66390 73080 7942 y10 24020 28720 33960 39740 46000 52610 59450 66330 73060 7943 y20 26290 30490 34690 40080 46650 53230 59800 66370 72950 7877 y30 23840 28600 33920 39800 46180 52890 5973
6、0 66550 73160 7939 x 0 4 0 32 0 24 0 16 0 0800 080 160 240 32 y0 85210 90270 94400 97470 99361 00000 99360 97470 94400 9027 y10 85240 90300 94430 97490 99371 00000 99370 97490 94430 9030 y20 82300 85840 89380 92920 96461 00000 96460 92920 89380 8584 y30 85070 90050 94180 97320 99301 00000 99300 9732
7、0 94180 9005 x0 40 480 560 640 720 80 880 961 041 12 y0 85210 79420 73080 66390 59550 52730 46100 39790 33910 2853 y10 85240 79430 73060 66330 59450 52610 46000 39740 33960 2872 y20 82300 78770 72950 66370 59800 53230 46650 40080 34690 3049 y30 85070 79390 73160 66550 59730 52890 46180 39800 33920 2
8、860 x1 21 281 361 441 521 61 681 761 841 922 y0 23690 19430 15730 12570 09920 07730 05950 04520 03390 02510 0183 y10 24020 19860 16160 12840 09800 07000 04410 02170 00570 00160 0183 y20 26290 22090 17890 13690 10190 08800 07400 06010 04620 03220 0183 y30 23840 19610 15890 12660 09890 07570 05660 041
9、60 03040 02270 0183 根据数据作图如下 共 4 条曲线 图图 1 11 1 从上图看出 三种插值方法对于原函数的偏差都不是很大 相比之下 三次样条插值的 精确度略高于其他两种并且更加光滑 计算及作图结果说明插值方法是有效可行的 若取 n 为 41 即插值点是以 2 为首项 公差为 0 1 的等差数列 同样方法得到的图如 下 数据省略不再打出 图图 1 21 2 可以看出 4 条曲线几乎重合在了一起 根据以上的数据及曲线可以得到如下结论 一般地 当节点数目越大时 运用三种插值方法的任一种 其精确度都可以大大提高 这 里暂不考虑龙格等情况 因此 当给定 n 个节点 而所求插值点的
10、数目不是很大时 用插 值方法可以保证很高的精确性 二 问题问题 1010 表 2 1 中给出的 x y 数据位于机翼断面的轮廓线上 Y1 和 Y2 分别对应轮廓的上下线 假设需要得到 x 坐标每改变 0 1 时的 y 坐标 试完成加工所需数据 画出曲线 求加工断面 的面积 表表 2 12 1 机翼断面轮廓线上的数据机翼断面轮廓线上的数据 x035791112131415 Y101 82 22 73 03 12 92 52 01 6 Y201 21 72 02 12 01 81 21 01 6 问题分析 给定的数据点是有限的 要想确定更多的数据 就要运用插值方法 而加工断面的面积 则应通过数值积
11、分分别求出上下轮廓线对 x 轴围成的面积 然后作差求得 问题解答 运用插值方法 程序如下 题目中给的节点数据 x0 0 3 2 11 12 15 y1 0 1 8 2 2 2 7 3 0 3 1 2 9 2 5 2 0 1 6 y2 0 1 2 1 7 2 0 2 1 2 0 1 8 1 2 1 0 1 6 由于插值点的个数比较多 也就是相应的节点数 n 比较小 故不采用拉格朗日插值 下 面用分段线性与三次样条两种插值方法 确定步长为 0 1 x 0 0 1 15 z1 interp1 x0 y1 x 分段上轮廓线 z2 interp1 x0 y2 x 分段下轮廓线 w1 spline x0
12、y1 x 样条上轮廓线 w2 spline x0 y2 x 样条下轮廓线 a x z1 w1 z2 w2 得到如下数据 表表 2 22 2 详细加工数据详细加工数据 x Y1 分段 线性 Y1 三次 样条 Y2 分段 线性 Y2 三次 样条 0 00 00000 00000 00000 0000 0 10 06000 10890 04000 0499 0 20 12000 21340 08000 0990 0 30 18000 31370 12000 1474 0 40 24000 40970 16000 1951 0 50 30000 50180 20000 2421 0 60 36000
13、58980 24000 2884 0 70 42000 67400 28000 3340 0 80 48000 75450 32000 3788 0 90 54000 83140 36000 4230 1 00 60000 90470 40000 4665 1 10 66000 97470 44000 5094 1 20 72001 04130 48000 5515 1 30 78001 10470 52000 5930 1 40 84001 16510 56000 6338 1 50 90001 22250 60000 6739 1 60 96001 27700 64000 7134 1 7
14、1 02001 32870 68000 7523 1 81 08001 37780 72000 7905 1 91 14001 42440 76000 8280 2 01 20001 46850 80000 8649 2 11 26001 51040 84000 9012 2 21 32001 54990 88000 9368 2 31 38001 58740 92000 9719 2 41 44001 62290 96001 0063 2 51 50001 65651 00001 0401 2 61 56001 68841 04001 0732 2 71 62001 71851 08001
15、1058 2 81 68001 74711 12001 1378 2 91 74001 77421 16001 1692 3 01 80001 80001 20001 2000 3 11 82001 82451 22501 2302 3 21 84001 84801 25001 2599 3 31 86001 87041 27501 2889 3 41 88001 89181 30001 3174 3 51 90001 91251 32501 3454 3 61 92001 93251 35001 3727 3 71 94001 95191 37501 3995 3 81 96001 9708
16、1 40001 4258 3 91 98001 98941 42501 4515 4 02 00002 00761 45001 4767 4 12 02002 02581 47501 5014 4 22 04002 04391 50001 5255 4 32 06002 06201 52501 5491 4 42 08002 08031 55001 5722 4 52 10002 09891 57501 5947 4 62 12002 11791 60001 6168 4 72 14002 13741 62501 6383 4 82 16002 15751 65001 6594 4 92 18002 17841 67501 6799 5 02 20002 20001 70001 7000 5 12 22502 22251 71501 7196 5 22 25002 24591 73001 7387 5 32 27502 27001 74501 7573 5 42 30002 29481 76001 7754 5 52 32502 32011 77501 7930 5 62 35002
