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1、 6 1 平面图形的面积 一 定积分的元素法 二 在直角坐标情形下求图形的面积 三 在极坐标情形下求图形的面积 一 定积分的元素法 设y f x 0 x a b O y xab 是以 a b 为底的曲边梯形的面积 A f x dx O y xx x x x x xabx 一 定积分的元素法 设y f x 0 x a b A x f t dt A x f t dt是以 a x 为底的曲边梯形的面积 A f x dx 是以 a b 为底的曲边梯形的面积 曲边梯形面积A x 的微分为dA x f x dx 点x处 高为f x 宽为dx的矩形的面积为 f x dx O y xx dxab DA f x
2、 dx 且DA f x dx o dx f x dx称为曲边梯形的面积元素 x 以dx为宽的曲边梯形面积为 DA 以 a b 为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f x dx为 被积表达式 以 a b 为积分区间的定积分 A x f t dt A f x dx 一般情况下 为求某一量U 不一定就是面积 即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积 先将此量看成是某区间 a b 上的 函数U x 再求这一量在 a b 上的元素 d U x 设d U x u x dx 然后以u x dx为被积表达式 以 a b 为积分区 间求定积分即得 用这一方法求一量的值的方法称为微元法 或元素法 U u x dx 二
3、 在直角坐标情形下求图形的面积 O y xab y f 上 x y f 下 x xx dx 求由曲线y f 上 x y f 下 x 及直线x a x b所围成的图形 的面积 面积元素为 所求图形的面积为 f 上 x f 下 x dx A f 上 x f 下 x dx 讨论 如果下图形的面积元素是什么 面积公式是什么 ab y f 上 x y f 下 x O y xA1 O y x ab y f 上 x y f 下 x A2 O x y c d x f 左 y x f 右 y A3 A1 A2 f 上 x f 下 x dx A3 f 右 x f 左 x dx O y xab 求由曲线y f 上
4、x y f 下 x 及直线x a x b所围成的图形的 面积 也可以按如下方法求面积 所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差 y f 上 x y f 下 x y f 下 x A f 上 x dx f 下 x dx 例1 计算由两条抛物线 y2 x y x 2 所围成的图形的面积 解 在区间 0 1 上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记 为A x 于是面积元素为 得所求的图形面积 以 0 1 为积分区间求定积分 01 1 x y x x dx 直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为 A x y2 x y x 2 DA x 2 dx 以 x 2 dx为被积表达式 dA x 2 dx
5、 例2 计算抛物线y2 2x 与直线y x 4所围成的图形的面积 解 画图 求两曲线的交点得 2 2 8 4 将图形向 y 轴投影得区间 2 4 A y 为区间 2 4 上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积 直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为 于是面积元素为 所求的图形面积为 DA y 4 y2 dy dA y 4 y2 dy 02468x 4 2 2 y 2 2x y x 4 8 4 2 2 解 设椭圆在第一象限的面积为A1 则椭圆的面积为A 4A1 第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为 0 a 因为面积元素为ydx 于是 A 4A1 a b 椭圆的参数方程为 y b sin t x a cos t y x O a b y dx 所以 三 在极坐标情形下求图形的面积 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线r 及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积为 x O r d 曲边扇形的面积元素 例4 计算阿基米德螺线r a a 0 上相应于 从0变到2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积 解 O x 2pa r a d 例5 计算心形线r a 1 cos a 0 所围成的图形的面积 解 O x r a 1 cos 2a d
