《2020年人教版高考数学 复习重点--第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年人教版高考数学 复习重点--第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和
2、函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的认识及应用(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3
3、)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)(2013山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)2.()(6)(2014菏泽模拟改编)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(8)(2014枣庄一模改编)若yf(x)既是周期函数，又是奇函数，
4、则其导函数yf(x)既是周期函数又是奇函数()感悟提升1两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2)2三个结论一是若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意xD都有f(xa)f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意xD都有f(xa)(f(x)0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；三是
5、若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数yf(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为yf(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(xT)f(x)，两边求导，得f(xT)(xT)f(x)，即f(xT)f(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，两边求导，得f(x)(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以导函数是偶函数.学生用书第16页考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)ln.(2)已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f(lg )()A1 B0 C1 D2(1)解
6、由得x1.f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数(2)解析设g(x)ln(3x)，则g(x)ln(3x)lnln(3x)g(x)g(x)为奇函数f(lg 2)ff(lg 2)f(lg 2)g(lg 2)1g(lg 2)1g(lg 2)g(lg 2)22.答案D规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是
7、否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 (1)(2014武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)()A2 B. C. Da2(2)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析(1)g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，g(2)g(2)a，f(2)f(2)，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22，联立解得
8、g(2)2a，f(2)a2a22222.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.答案(1)B(2)A考点二函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是()Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)tan x(2)(2013辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(logx)0的解集为()A. B(2，)C.(2，) D.(2，)解析(1)f(x)在定义域上是奇
9、函数，但不单调；f(x)为非奇非偶函数；f(x)tan x在定义域上是奇函数，但不单调(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f0，f(logx)0等价于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|logx|，即logx或logx，解得0x或x2，故选C.答案(1)C(2)C规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)【训练2】 (2014北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)exa，若f(x)在R上是单调函
10、数，则实数a的最小值是()A2 B1 C1 D2解析因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.又f(x)exa在(0，)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则e0a1a0，解得a1，所以a的最小值是1，故选B.答案B考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)审题路线f(x4)f(x)f(x8)f(x)结合f(x)奇偶性、周期性把25,11,80化到区间2,
11、2上利用2,2上的单调性可得出结论解析f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)答案D学生用书第17页规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题【训练3】 (2014黄冈中学适应性考
12、试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，下列关于f(x)的判断：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(4)f(0)其中判断正确的序号是_解析f(x1)f(x)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数又f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，故f(x)的图象关于直线x1对称同理，f(x4)f(x)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称由f(x)在1,0上是增函数，得f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数因此可得正确答案 1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题
13、：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性方法优化1根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011辽宁卷)若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1一般解法 由题意知f(x)f(x)恒成立，即，即(xa)(xa)恒成立，所以a.优美解法 (特值法)由已知f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.答案A反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：
