人教版 高考数学 核心考点---专题演练19 等比数列的运算和性质

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1、考点19 等比数列的运算和性质【考点分类】热点一 等比数列的基本计算1.【2013年全国高考新课标(I)文科】设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则( )(A) (B) (C) (D)2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】等比数列x,3x+3,6x+6,的的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.243.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学(理)卷】等比数列an的前n项和为Sn,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1=( )(A) (B)- (C) (D)- 4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科】设数列是首项为,公比为的

2、等比数列,则 .5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】 .6【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】若等比数列满足,则公比_;前项_.7.(2012年高考(浙江理)设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n.若,则q =_.【答案】 8(2012年高考(辽宁理)已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_.9(2012年高考(北京文)已知为等比数列.下面结论中正确的是()来源:学。科。网Z。X。X。KAB C若,则D若,则10(2012年高考(辽宁文)已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列an的公

3、比q = _.11(2012年高考(课标文)等比数列的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_.12(2012年高考(江西文)等比数列的前项和为,公比不为1.若,且对任意的都有,则_.13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】在等比数列中,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和. 14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知等比数列满足:,.()求数列的通项公式;()是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由. 【方法总结】1.对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时

4、要注意整体代入(换元)思想方法的应用2在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论3.关于等比数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方程的根时,忽略根的符号的判断,导致出错;二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大了运算量来源:学_科_网Z_X_X_K热点二 等比数列性质的应用15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】若等比数列an满足a2a4=20,a3a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .16.【2013年普通高等学校统一考试江苏

5、数学试题】在正项等比数列中,. 则满足的最大正整数的值为 .17(2012年高考(新课标理)已知为等比数列,则()ABCD18(2012年高考(安徽理)公比为等比数列的各项都是正数,且,则()ABCD19(2012年高考(广东文)(数列)若等比数列满足,则_.20.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【方法总结】1.等比数列的单调性(1)或an为递增数列;(2)或an为递减数列;(3)q1an为非零

6、常数列;(4)q0an为摆动数列2等比数列其他性质(1)若数列an是等比数列,则can(c0),|an|,a,也是等比数列,若bn是等比数列,则anbn也是等比数列(2)数列am,amk,am2k,am3k,仍成等比数列(3)若等比数列an的项数为2n,则q,其中S偶,S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和(4)qnm(m,nN*)热点三 等比数列定义以其应用21.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知数列满足,则的前10项和等于( )A B C D22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】 已知等比数列的公比为,记,则以下结论一定正确的是()A. 数列为等差数列

7、,公差为 B. 数列为等比数列,公比为 来源:学_科_网C. 数列为等比数列,公比为 D. 数列为等比数列,公比为 ,所以等比,且以为公比.23(2012年高考(湖北理)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .则其中是“保等比数列函数”的的序号为()A B C D 24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于 .25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】设是公比为q的等比

8、数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】设Sn表示数列的前n项和. () 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 并证明你的结论.解:()解法一:设公差为d,,则又 【方法总结】1.等比数列的判定方法:(1)定义法:若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2),则an是等比数列(2)中项公式法:若数列an中an0且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn1(c,q均为不为0的常数,nN

9、*),则an是等比数列(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列需要说明的是:对于第一、二种方法适用于任何题型,强调推理过程,而第三、四种方法适合于选择、填空题,强调结论的应用,若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可2解决与等比数列有关问题的常见思想方法:(1)函数思想:在等比数列an中,anqn,它的各项是函数yqx图象上的一系列孤立的点(2)方程思想:准确分析a1,q,an,Sn,n之间的关系,通过列方程(组)可做到“知三求二”(3)分类讨论思想:无论是等比数列的前n项和公式的给出,还是等比数列单调性的划分

10、都体现了分类讨论思想的具体运用 (4)类比思想:等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想的推广(5)整体思想:等比数列an的前n项和公式Snqn(q1),常把视为一个整体,其前n项和公式可写成Snkkqn,k(q1)的形式,这对于解答选择题、填空题是很有帮助的【考点剖析】一明确要求1.理解等比数列的概念2考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用3以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定二命题方向1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点2.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的

11、掌握程度,主观题考查较为全面,在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法3题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高.三规律总结一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和:Sna1a1qa1q2a1qn1,同乘q得:qSna1qa1q2a1q3a1qn,两式相减得(1q)Sna1a1qn,Sn(q1) 两个防范(1)由an1qan,q0并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q1与q1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有:(1)定义法:若q(q为非零常数

12、)或q(q为非零常数且n2且nN*),则an是等比数列(2)中项公式法:在数列an中,an0且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列【考点模拟】一扎实基础1. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知正数数列是等比数列,若,则公比q=( )A2 B C D【答案】A【解析】.2. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】设数列an是以2为首项,1为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列,则 等于( )A. 78B. 84

13、C. 124D. 1263. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】各项均为正数的等比数列的前n项和为,若2,14,则等于( )A80 B30 C26 D164. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知在等比数列中, ,则该等比数列的公比为( )A.B.C.2D.85. 【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 在正项等比数列中,和为方程的两根,则( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)256.选C.6. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列中,已知,则( )A. 11B. 12C. 14D. 167. 【河南中原名校20122013学年度第一学期期中联考】在等比数列中,若a3=9,a7=1,则a5的值等于( )A3或3 B3 C3 D不存在8. 【2013年浙江省高考测试卷】设数列( )A若,则为等比数列B若,则为等比数列C若,则为等比数列D若,则为等比数列D若

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