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1、中考数学高频考点之图形运动中的计算说理问题突破与提升策略一. 计算说理题型的共性:计算说理是通过计算得到结论;说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值.压轴题中的代数计算题,主要是函数类题.二.常见计算说理题型:1.函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标.2.代数计算和说理较多的一类题目,是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程,然后根据确定交点的个数.3.还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律.三.例题解析:1.如图,已知直线y=x+1
2、与x轴交于点A,抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+1交于A、 B两点,求点B的坐标的代数方法,就是联立方程组,方程组的一个解是点A的坐标,另一个解计算点的坐标.几何法是这样的: 设直线AB与y轴交于C,那么tanCAO=1.作BEx轴于E,那么BEAE=1.设B(x, x2-2x-3),于是+=1.请注意,这个分式的分子因式分解后,(x+1)(x-3)x+1=1.这个分式能不能约分,为什么?因为x=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合,所以x-1,因此约分以后就是x-3=1.这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分,直接化为一元一次方程,很简便.四.真题反馈:1.在
3、平面直角坐标系中,点P的坐标为(x1, y1),点Q的坐标为(x2, y2),且x1x2, y1y2,若P、 Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P、 Q的“相关矩形”.图为点P、 Q的“相关矩形”的示意图.(1) 已知点A的坐标为(1, 0), 若点B的坐标为(3, 1),求点A、 B的“相关矩形”面积; 点C在直线x=3上,若点A、 C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2) O的半径为,点M的坐标为(m, 3),若在O上存在一点N,使得点M、 N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.解析:1. “相关矩形”的形状、大小是由对角线的两个端点确定
4、的.2. “相关矩形”是正方形,那么对角线与坐标轴的夹角为45.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+14与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.(1) 填空: 点B的坐标是;(2) 过点B的直线y=kx+b(其中k0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;(3) 在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.解析:1. 用含k的式子表示点C的坐标,再设点P的纵坐标为m,根据PB=PC列关于k、 m的方程,得到m关于k的关系式.2
5、. 第(3)题:先说理四边形CBCP是菱形.3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过原点,顶点为A(h, k)(h0).(1) 当h=1, k=2时,求抛物线的解析式;(2) 若抛物线y=tx2(t0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3) 当点A在抛物线y=x2-x上,且-2h0)与x轴从左到右的交点为B、 A,过线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y=(k0, x0)于点P,且OAMP=12.(1) 求k的值;(2) 当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3) 把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;(4) 设L与
6、双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.解析:1. 由抛物线的交点式可以写出A、 B两点的坐标,AB=4为定值.2. 第(3)题:按照对称轴与直线MP的位置关系,分两种情况讨论最高点.3. 第(4)题:分三步,先根据双曲线的解析式求x=4和x=6时的两个交点坐标,再代入到抛物线的解析式解关于t的方程,最后讨论t的范围.5.抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1, 0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1, 2);过点B212, 0作x轴的垂线,交抛物线于点A2; ;过点Bn, (n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An.连结AnBn, B
7、nBn+1,得RtAnBn+.(1) 求a的值;(2) 直接写出线段AnBn, BnBn+1的长(用含n的式子表示);(3) 在系列RtAnBnBn+1中,探究下列问题: 当n为何值时,RtAnBnBn+1是等腰直角三角形? 设1kmn(k、 m均为正整数),问: 是否存在RtAkBkBk+1与RtAmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,请说明理由.解析:1. 第(2)题如果错了,第(3)题就没有办法做对了.2. 第(3)题的等腰直角三角形根据直角边相等,列关于n的方程,没有什么障碍.3. 第(3)题中,讨论两个直角三角形相似分三步.第一步说理斜边不平行,因此不存在同位角相等的情
8、形;第二步列关于k、 m的方程,得到k+m=6;第三步分两种情况计算相似比,(k, m)存在(1, 5)和(2, 4)两种情况.6.如图1,在等腰直角三角形ABC中,BAC=90, AC=82cm, ADBC于D.点P从点A出发,沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQAB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且PQM=90(点M、 C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),PQM与ADC重叠部分的面积为y(cm2).(1) 当点M落在AB上时,x=;(2) 当点M落在AD上时,x=;(3) 求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 图
9、1 备用图解析:1. 由点P引发的全部动态线段的长,都可以用x表示出来.2. 第(1)、(2)题的结果,就是第(3)题分段函数的临界值.7.如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.类似地,我们可以认识其他函数.(1) 把函数y=1x的图象上各点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到函数y=6x的图象;也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=6x的图象.(2) 已知下列变化: 向下平移2个单位长度;向右平移1个单位长度;向右平
10、移12个单位长度;纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.(i) 函数y=x2的图象上所有的点经过,得到函数的图象;(ii) 为了得到函数y=-14(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点().A. B. C. D. (3) 函数y=1x的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-+的图象?(写出一种即可)解析:1. 第(1)题有陷阱,其实函数y=1x和x=1y的变换是相同的.2. 第(2)题中,上下平移不影响横坐标或纵坐标缩放的.3. 第(3)题中,要先对解析式进行变形,分离出系数k.8.如图,在平面直角坐标系中,点O
11、为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1, 3)和点N(3, 5).(1) 试判断该抛物线与x轴的交点情况;(2) 平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2, 0),且与y轴交于点B,同时满足以A、 O、 B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.解析:1. 待定两个系数,已知两个点的坐标,列关于a、 b的方程组.2. 等腰直角三角形AOB存在两种情况.3. 抛物线平移的过程中,二次项系数不变.9.已知抛物线C: y=x2-2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F,.(1) 求点P、 Q的坐标;(2) 将抛物线C向上平移得到抛物线C,点Q平移后的对应点为
12、Q,且FQ=OQ. 求抛物线C的解析式; 若点P关于直线QF的对称点为K,射线FK与抛物线C相交于点A,求点A的坐标.解析:1. 抛物线上下平移,二次项系数、一次项系数不变,只是常数项变化.2. 求点A的坐标,关键的一步是确定点K的坐标.点K可以由QK=QP和FK=FP两个条件确定.10.抛物线y=ax2+c与x轴交于A、 B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.(1) 如图1,若P(1, -3)、 B(4, 0). 求该抛物线的解析式; 若D是抛物线上一点,满足DPO=POB,求点D的坐标.(2) 如图2,已知直线PA、 PB与y轴分别交于E、 F两点.当点P运动时,OE+OFOC
13、是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由. 图1 图2解析:1. 按照点D与OP的位置关系,点D存在两种情况.一种情况是内错角相等,两直线平行;另一种情况是等角对等边.2. 第(2)题中,作PHx轴于H,由OEHPOF就得到两组三角形相似,结合根与系数的关系进行推算.11.对于平面直角坐标系中的点P和图形M,给出如下定义:若在图形M上存在点Q,使得P、 Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1) 当O的半径为2时. 在点P1, 、 P2,、 P352, 0中,O的关联点有; 点P在直线y=-x上,若P为O的关联点,求点P的横坐标的取值范围;(2) C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A、 B,若线段AB上的所有点都是C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.解析:1. 第(1)题: 分别以P1、 P2、 P3为圆心,1为半径画圆,如果这个圆和O有公共点,那么O上存在点Q到这个点的距离小于或等于1,圆心就是O的关联点.2. 第(1)题: 先容易找到两个点Q、 Q,
