《2020年人教版高考数学 复习重点--第2篇 第12讲 导数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年人教版高考数学 复习重点--第2篇 第12讲 导数的综合应用（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第12讲导数的综合应用最新考纲1利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究辨 析 感 悟1函数最值与不等式(方程)的关系(1)
2、(教材习题改编)对任意x0，ax2(3a1)xa0恒成立的充要条件是a.()(2)(2011辽宁卷改编)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是(，2ln 22()2关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(5)(2014贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件()感悟提升1两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二
3、是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)2两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)若在开区间内有极值，则一定有最优解.考点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】 (2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围审题路线(1)由导数的几何意义，知f(a)0且f(a)b，解方
4、程得a，b的值(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2xsin xcos xb0.通过判定零点个数来求解解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x) 1b 所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调
5、递增，且g(x)的最小值为g(0)1b.当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点，则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)规律方法 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性
6、、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数yf(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.学生用书第43页【训练1】 (2012天津卷节选)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如下表：
7、x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a.所以，a的取值范围是.考点二导数在不等式中的应用【例2】 (2013新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m2时，转化为求f(x)min
8、，证明f(x)min0.解(1)易知f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex在(1，)上是增函数，且f(0)0.当x(1,0)时，f(x)0时，f(x)0.故f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)当m2，xm时，ln(xm)ln(x2)故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)10.所以f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且1x00.综上可知，当m2时，f(x)0成立规律方法 (1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m2时，f(x)0；二是依据
9、f(x0)0，准确求f(x)exln(x2)的最小值(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化【训练2】 (2014郑州一模)已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在上是增函数；若x ，则f(x)0，故f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f
10、(x)max.因为a(4，2)，所以 2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20，即m2.所以实数m的取值范围是(，2考点三导数与生活中的优化问题【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256
11、(2)xmm2m256.(2)由(1)知，令f(x)0，得512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.学生用书第44页【训练3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形
12、蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大 1理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念2利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分
