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1、函数导数压轴题大全（一）与切线相关问题1、（2015郑州一模文）设是实数，函数.（I）讨论函数的单调区间；（II）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“平衡点”. 当时，试问函数是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，在上恒成立；2分当时，在时，当时，所以，当时，的减区间为(0,+)；4分当时，的减区间为，增区间为. 6分（2）设为函数图像上一点，则函数在点处的切线方程为：即：.8分令，则，因为所以，当时，当时，即函数在上为减函数，在上为增，所以，10分那么，当时，； 当时， 因此，函数在不存在“平衡点”.
2、122、（2012湖南文)（拉格朗日中值定理）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图象上取定两点，记直线AB的斜率为k，证明：存在，使成立解：（）令得 当时，单减；当时，单增故当时，取最小值于是对一切xR，1恒成立，当且仅当令，则 当时，单调递增；当时，单调递减 故当时，取最大值 因此，当且仅当时，式成立综上所述，a的取值集合为（）由题知，令，则 ，令，则 当时，单调递减； 当时，单调递增 故当时， ，即从而，又，所以，因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 所以存在存在，使，即成立3、(公切线问题)已知函数若函数 (x) = f (x)，求函数 (
3、x)的单调区间；设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解：（） ，且，函数的单调递增区间为 （） ， 切线的方程为, 即, 设直线与曲线相切于点，,. 直线也为， 即， 由得 ， 下证：在区间（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在区间上递增又，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立4、（2012北京理）已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.解：（1）由为公共切点可得：，
4、则，则， 又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为5、（2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数讨论函数的单调性；若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：的定义域为令当故上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时，；当时，故分别在上单调递增，在上单调递减由知，若有两个极值点，则只能是情况，故因为，所以又由知，于是若存在，使得则即亦即再由知，函数在
5、上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得（二）、极、最值比较讨论1、（2013广东文）设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值。解：(1)当时 ,在上单调递增.（2）当时，其开口向上，对称轴 ，且过 -kk k（i）当，即时，在上单增，从而当时， 取得最小值 ,当时， 取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断) 的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2：（2）当时，对，都有，故故，而 ，所以 ，解法3：因为，； 当时，即时，在上单调递增，此时无最小值和最大值； 当时，即时，
6、令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，作的最值表如下：极大值极小值则，；因为；，所以；因为；所以；综上所述，所以，。2、（2014江西文）已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间; （2）若在区间上的最小值为8，求的值.解：当时，由，得或，由得或，故函数f（x）的单调递增区间为和（2）因为，a0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且当时，即-2a5+ln2 x=0时在0，3上最小值=5+ln2.若在区间0，m上单调，有两种可能令0得b2x，在0，m上恒成立 而y=2x在0，m上单调递增，最大值为2m，b2m.令0 得b2x，而 y=2x在0，
7、m单增，最小为y=，b.故b2m或b时在0，m上单调.5、已知函数若，求的极大值；若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：定义域为 令 由由即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 的定义域为(0，+)，由G (x)在定义域内单调递减知：在(0，+)内恒成立令，则 由当时为增函数当时，为减函数当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 （四）一个函数两个变量的恒成立，主辅元转换1、设函数(1)讨论函数在定义域内的单调性；(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围解：当时，增区间为，减区间为，当时，减区间为当时，增区间为，
8、减区间为，由知，当时，在上单调递减，即恒成立，即，又，2、已知二次函数对都满足且，设函数（，）（）求的表达式；（）若，使成立，求实数的取值范围； （）设，求证：对于，恒有 解：（）设，于是所以 又，则所以 3分 （）当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分当m=0时，对，恒成立； 5分 当m0时，由，列表：x0减极小增 所以若，恒成立，则实数m的取值范围是 故使成立，实数m的取值范围9分（）因为对，所以在内单调递减于是记，则所以函数在是单调增函数， 所以，故命题成立 12分3、设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围.解：（1） 由题意得：，即，且令得，是函数的一个极值点 ，即 故与的关系式为. 当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；（
