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1、9.6椭圆2020高考会这样考1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系复习备考要这样做1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质用代数方法求解几何问题1椭圆的概念(1)第一定义：在平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数：若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集(2)第二定义：平面内到
2、一个定点F的距离和到一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e(0eb0)1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2难点正本疑点清源1椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0，椭圆的焦点在y轴上0mn.2求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求
3、得e (0e2，即k0，0kb0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为_答案1解析依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.题型一求椭圆的标准方程例1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_；(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭
4、圆C的方程为_思维启迪：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量答案(1)1或1(2)1解析(1)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆方程为1 (ab0)，由e知，故.由于ABF2的周长为ABBF2AF2AF1AF2BF1BF24a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.探究提高求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式 已知F1，F2是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，A，B分
5、别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OPAB，PF1x轴，F1A，则此椭圆的方程是_答案1解析由于直线AB的斜率为，故OP的斜率为，直线OP的方程为yx.与椭圆方程1联立，解得xa.因为PF1x轴，所以xa，从而ac，即ac.又F1Aac，故cc，解得c，从而a.所以所求的椭圆方程为1.题型二椭圆的几何性质例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关思维启迪：(1)在PF1F2中，使用余弦定理和PF1PF22a，可求PF1PF2与a，c的关系，然后利用均值不等式找出不等关系，从而求出e的范
6、围；(2)利用SF1PF2PF1PF2sin 60可证(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，PF1m，PF2n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0eb0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得
7、B，所以ABc.由SAF1BAF1ABsinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设ABt.因为AF2a，所以BF2ta.由椭圆定义BF1BF22a可知，BF13at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.题型三直线与椭圆的位置关系例3(2011北京)已知椭圆G：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将AB表示为m的函数，并求AB的最大值思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想解(1)由已知得a2，b1，所以c
8、.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)离心率为e.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，)此时AB.当m1时，同理可得AB.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以AB.由于当m1时，AB，所以AB，m(，11，)因为AB2，且当m时，AB2，所以AB的最大值为2.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
9、然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形 设F1、F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足PF2F1F2.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且MNAB，求椭圆的方程审题视角第(1)问由PF2F1F2建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求AB均可，再利用圆的知识求解规范解答解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为P
10、F2F1F2，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.8分得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以ABc.于是MNAB2c.12分圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.16分温馨提醒(1)解决与弦长有关的椭圆方程问题，首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数(2)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c)，这样可避免繁琐的运算.方法与技巧1求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以
