《2.3.2抛物线的简单几何性质(含答案)【GHOE】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2.3.2抛物线的简单几何性质(含答案)【GHOE】(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2抛物线的简单几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单几何性质,学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y22px(p0)(1)范围:抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是_,抛物线在y轴的_侧,当x的值增大时,|y|也_,抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性:抛物线关于_对称,抛物线的对称轴叫做_(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率:抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的_,用e表示,其值为_(5)抛物线的焦点到其准线的距离为
2、_,这就是p的几何意义,顶点到准线的距离为,焦点到顶点的距离为_2直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程_的解的个数当k0时,若0,则直线与抛物线有_个不同的公共点;当0时,直线与抛物线有_个公共点;当0),AB为过焦点的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则有以下结论(1)以AB为直径的圆与准线相切(2)|AB|2(x0)(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)|AB|x1x2p.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2,y1y2p2.一、选择题1顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)
3、,它的方程是()Ax2y或y2xBy2x或x2yCy2xDx2y2若抛物线y22px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列3已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.4设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x5设直线l1:y2x,直线l2经过点P(2,1
4、),抛物线C:y24x,已知l1、l2与C共有三个交点,则满足条件的直线l2的条数为()A1 B2 C3 D46过抛物线y2ax (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为p、q,则等于()A2a B C4a D题号123456答案二、填空题7已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_8已知F是抛物线C:y24x的焦点,A、B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则ABF的面积等于_9过抛物线x22py (p0)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点
5、A在y轴的左侧),则_.三、解答题10设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3,求抛物线的标准方程11过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直线方程能力提升12设抛物线y28x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于()A4 B8 C8 D1613已知直线l经过抛物线y24x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点(1)若|AF|4,求点A的坐标;(2)求线段AB的长的最小值1抛物线上一点与焦点的距离问题,可转化为该点到准线的距离2直线与抛物线的位置关系,可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解
6、来判定;“中点弦”问题也可使用“点差法”23.2抛物线的简单几何性质答案知识梳理1(1)x0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p2k2x22(kbp)xb20两一没有平行或重合一作业设计1B由题意知所求抛物线开口向上或开口向左,利用待定系数法可求得方程2A设三点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),则y2px1,y2px2,y2px3,因为2yyy,所以x1x32x2,即|P1F|P3F|2,所以|P1F|P3F|2|P2F|.3A如图所示,由抛物线的定义知,点P到准线x的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点
7、P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F的距离,则距离之和的最小值为 .4By2ax的焦点坐标为,过焦点且斜率为2的直线方程为y2,令x0得y.4,a264,a8.5C点P(2,1)在抛物线内部,且直线l1与抛物线C相交于A,B两点,过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意满足条件的直线l2共有3条6D可采用特殊值法,设PQ过焦点F且垂直于x轴,则|PF|pxP,|QF|q,.7y24x解析设抛物线方程为y2ax.将yx代入y2ax,得x0或xa,2.a4.抛物线方程为y24x.82解析设A(x1,y1),B(x2,y
8、2),则y4x1,y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2,1.直线AB的方程为y2x2,即yx.将其代入y24x,得A(0,0)、B(4,4)|AB|4.又F(1,0)到yx的距离为,SABF42.9.解析抛物线x22py (p0)的焦点为F,则直线AB的方程为yx,由消去x,得12y220py3p20,解得y1,y2.由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,可知.10解由ymx2 (m0)可化为x2y,其准线方程为y.由题意知2或4,解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.11解方法一设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1)、B
9、(x2,y2),则有y8x1, y8x2, Q(4,1)是AB的中点,x1x28,y1y22. ,得(y1y2)(y1y2)8(x1x2) 将代入得y1y24(x1x2),即4,k4.所求弦AB所在的直线方程为y14(x4),即4xy150.方法二设弦AB所在直线方程为yk(x4)1.由消去x,得ky28y32k80,此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,得y1y2,又y1y22,k4.所求弦AB所在的直线方程为4xy150.12. B如图所示,直线AF的方程为y(x2),与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4),代入抛物线y28x,得8x048,
10、x06,|PF|x028,选B.13解由y24x,得p2,其准线方程为x1,焦点F(1,0)设A(x1,y1),B(x2,y2)分别过A、B作准线的垂线,垂足为A、B.(1)由抛物线的定义可知,|AF|x1,从而x1413.代入y24x,解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3,2)(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立,消去y,整理得k2x2(2k24)xk20,因为直线与抛物线相交于A、B两点,则k0,并设其两根为x1,x2,则x1x22.由抛物线的定义可知,|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,2),此时|AB|4,所以,|AB|4,即线段AB的长的最小值为4.