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1、高一数学期末复习专题一平面向量 一、知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量称为向量，向量的大小称为向量的_(或称为模)(2)零向量：_的向量称为零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量(4)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又称为_，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法_法则_法则(1)交换律：ab_；(2)结合律：(ab)c_.减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法_法则aba(b)3向量数乘运算及其几何意义(1)定
2、义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a|_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当a0时，a0；当0时，a_.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理： _4平面向量基本定理如果e1，e2是同一个平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a_.其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的_(1)e1，e2均为非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底(2)基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1，2是被a，e
3、1，e2唯一确定的数量5平面向量的坐标运算在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj，我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y) (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_；|_.(3)若a(x，y)，则a_.（4）若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.6向量的数量积：（1）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|c
4、os .若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)向量的夹角：如图，两个非零向量a和b，a，b，则_为向量a与b的夹角两向量夹角的范围为0，当0时，a与b同向，当_时，a与b反向(3)数量积的运算法则：(1)ab_(交换律)；(2)(a)b(ab)_；(3)(ab)c_.例1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若|a|b|，则ab；(2)若ab，则|a|b|；(3)若ab，bc，则ac；(4)若ab，bc，则ac；(5)若|a|0，则a0；(6)若0，则a0；(7)若，则ABCD是平行四边形解：(1)不正确，因为a与b的方向不一定相同来源:Z|xx|k.Com(2)正确，因为
5、相等向量是模相等且方向相同的向量(3)正确，因为ab，所以a与b的长度相等且方向相同；因为bc，所以b与c的长度相等且方向相同；所以a与c的长度相等且方向相同，所以ac.(4)不正确，因为当b0时，a与c不一定平行(5)正确，因为长度为零的向量就是零向量(6)不正确，因为当0时，a0.(7)不正确，因为A，B，C，D可能四点共线例2设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解：kab与akb共
6、线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.巩固练习1下列命题：如果非零向量a与b的方向相同或相反，且ab是非零向量，那么ab的方向必与a，b之一方向相同；ABC中，必有0；0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确的命题是_解1解析：正确中，可以是零向量中|ab|a|b|.2设向量a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.3.如图，在ABC中，在AC上取点N，使得ANAC，在AB上取点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上
7、取点Q，使得MQCM时，试确定的值解：()，又，即().例3如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.解1解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以A为原点建立平面直角坐标系令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB，垂足为F，由已知得DFBF，则(2，)，(2，)(2x,2y)即有解得例4已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且满足t(tR)(1)t为何值时，点P在x轴上；t为何值时，点P在y轴上？(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由解：(1)(1,2)t(3,3)(13t,23t)所以，如果P在
8、x轴上，有23t0，所以t；如果P在y轴上，有13t0，所以t.(2)假设四边形OABP为平行四边形，则有.又因为(13t,23t)，(3,3)，所以方程组无解，故四边形OABP不能构成平行四边形例5平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k),2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.(3)设d(x，y)，则dc(x4
9、，y1)，又ab(2,4)，由题意得来源:Z|xx|k.Com解得或d(3，1)或d(5,3)巩固练习1已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC60，设，则实数_.2.如图，P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与AB的交点，令p，试用p表示.=2p.3已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；tan .(2)若|a|b|,0，求的值或.例6在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值
10、解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，(32t，5t)由()0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.例7设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，来源:学科网ZXXK化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te
11、2)，0，可求得所求实数t的范围是.例8已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数)解： (1)证明：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解：kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.而0，0，巩固练习1ABC中，C90，且CACB3，点M满足2，则_.182已知向量a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，c(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值；(2)若1，求OAB的面积S.解：(1)由a(ba)a(ba)0aba20，又|a|1，|b|2，a，b|，2cos|1cos|.由0，得.(2)|1，|2，记，1，2，(0，d)，d
