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1、高一数学期末复习专题一平面向量 一、知识梳理1向量的有关概念(1)向量:既有_又有_的量称为向量,向量的大小称为向量的_(或称为模)(2)零向量:_的向量称为零向量,其方向是_的(3)单位向量:长度等于_的向量(4)平行向量:方向_或_的_向量;平行向量又称为_,任意一组平行向量都可以平移到同一直线上规定:0与任一向量_(5)相等向量:长度_且方向_的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法_法则_法则(1)交换律:ab_;(2)结合律:(ab)c_.减法求两个向量差的运算,叫做向量的减法_法则aba(b)3向量数乘运算及其几何意义(1)定
2、义:实数与向量a的积是一个向量,记作_,它的长度与方向规定如下:|a|_;当0时,a与a的方向_;当0时,a与a的方向_;当a0时,a0;当0时,a_.(2)运算律:设,是两个实数,则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理: _4平面向量基本定理如果e1,e2是同一个平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a_.其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的_(1)e1,e2均为非零向量,必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底(2)基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一;1,2是被a,e
3、1,e2唯一确定的数量5平面向量的坐标运算在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a,有且只有一对有序实数x,y,使得axiyj,我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a(x,y) (1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则_;|_.(3)若a(x,y),则a_.(4)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_.6向量的数量积:(1)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|c
4、os .若设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_.(2)向量的夹角:如图,两个非零向量a和b,a,b,则_为向量a与b的夹角两向量夹角的范围为0,当0时,a与b同向,当_时,a与b反向(3)数量积的运算法则:(1)ab_(交换律);(2)(a)b(ab)_;(3)(ab)c_.例1判断下列命题是否正确,并说明理由:(1)若|a|b|,则ab;(2)若ab,则|a|b|;(3)若ab,bc,则ac;(4)若ab,bc,则ac;(5)若|a|0,则a0;(6)若0,则a0;(7)若,则ABCD是平行四边形解:(1)不正确,因为a与b的方向不一定相同来源:Z|xx|k.Com(2)正确,因为
5、相等向量是模相等且方向相同的向量(3)正确,因为ab,所以a与b的长度相等且方向相同;因为bc,所以b与c的长度相等且方向相同;所以a与c的长度相等且方向相同,所以ac.(4)不正确,因为当b0时,a与c不一定平行(5)正确,因为长度为零的向量就是零向量(6)不正确,因为当0时,a0.(7)不正确,因为A,B,C,D可能四点共线例2设两个非零向量a与b不共线(1)若ab,2a8b,3(ab)求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使kab和akb共线解(1)证明:ab,2a8b,3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.,共线又它们有公共点B,A,B,D三点共线(2)解:kab与akb共
6、线,存在实数,使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a,b是两不共线的非零向量,kk10.k210.k1.巩固练习1下列命题:如果非零向量a与b的方向相同或相反,且ab是非零向量,那么ab的方向必与a,b之一方向相同;ABC中,必有0;0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;若a,b均为非零向量,则|ab|与|a|b|一定相等其中正确的命题是_解1解析:正确中,可以是零向量中|ab|a|b|.2设向量a与b是两个不共线向量,且向量ab与2ab共线,则_.3.如图,在ABC中,在AC上取点N,使得ANAC,在AB上取点M,使得AMAB,在BN的延长线上取点P,使得NPBN,在CM的延长线上
7、取点Q,使得MQCM时,试确定的值解:(),又,即().例3如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若xy,则x_,y_.解1解析:如图,以AB所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴,以A为原点建立平面直角坐标系令AB2,则(2,0),(0,2),过D作DFAB,垂足为F,由已知得DFBF,则(2,),(2,)(2x,2y)即有解得例4已知O(0,0),A(1,2),B(4,5),且满足t(tR)(1)t为何值时,点P在x轴上;t为何值时,点P在y轴上?(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形?若能,求t的值;若不能,请说明理由解:(1)(1,2)t(3,3)(13t,23t)所以,如果P在
8、x轴上,有23t0,所以t;如果P在y轴上,有13t0,所以t.(2)假设四边形OABP为平行四边形,则有.又因为(13t,23t),(3,3),所以方程组无解,故四边形OABP不能构成平行四边形例5平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1),请解答下列问题:(1)求满足ambnc的实数m,n;(2)若(akc)(2ba),求实数k;(3)若d满足(dc)(ab),且|dc|,求d.解:(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1),所以得(2)akc(34k,2k),2ba(5,2),(akc)(2ba),2(34k)(5)(2k)0,k.(3)设d(x,y),则dc(x4
9、,y1),又ab(2,4),由题意得来源:Z|xx|k.Com解得或d(3,1)或d(5,3)巩固练习1已知A(3,0),B(0,),O为坐标原点,点C在AOB内,且AOC60,设,则实数_.2.如图,P是ABC内一点,且满足条件230,设Q为CP的延长线与AB的交点,令p,试用p表示.=2p.3已知向量a(sin ,cos 2sin ),b(1,2)(1)若ab,求tan 的值;tan .(2)若|a|b|,0,求的值或.例6在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值
10、解:(1)由题设知(3,5),(1,1),则(2,6),(4,4)所以|2,4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知(2,1),(32t,5t)由()0,得(32t,5t)(2,1)0,从而5t11,所以t.例7设两个向量e1,e2满足|e1|2,|e2|1,e1与e2的夹角为,若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角,求实数t的范围解:由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角,得0,即(2te17e2)(e1te2)0,来源:学科网ZXXK化简即得2t215t70,解得7t.当夹角为时,也有(2te17e2)(e1te2)0,但此时夹角不是钝角,设2te17e2(e1te
11、2),0,可求得所求实数t的范围是.例8已知a(cos ,sin ),b(cos ,sin )(0)(1)求证:ab与ab互相垂直;(2)若kab与akb的模相等,求.(其中k为非零实数)解: (1)证明:(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0,ab与ab互相垂直(2)解:kab(kcos cos ,ksin sin ),akb(cos kcos ,sin ksin ),|kab|,|akb|.|kab|akb|,2kcos()2kcos()又k0,cos()0.而0,0,巩固练习1ABC中,C90,且CACB3,点M满足2,则_.182已知向量a(cos ,sin ),b(2cos ,2sin ),c(0,d)(d0),其中O为坐标原点,且0.(1)若a(ba),求的值;(2)若1,求OAB的面积S.解:(1)由a(ba)a(ba)0aba20,又|a|1,|b|2,a,b|,2cos|1cos|.由0,得.(2)|1,|2,记,1,2,(0,d),d