《（试卷）奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十三章特殊四面体的性质及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（试卷）奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十三章特殊四面体的性质及应用（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十三章特殊四面体的性质及应用【基础知识】特殊四面体包括垂心四面体（四条高线交于一点的四面体），直角四面体（有一个三面焦是直三面角的四面体，或过同一顶点的三条棱互相垂直的四面体），拟腰四面体（两对对棱相等的四面体），等面四面体（三对对棱相等的四面体），正四面体（六条棱长相等的四面体）等特殊四面体除了具有一般四面体的性质外，还具有各自独特的性质1垂心四面体性质1垂心四面体的对棱互相垂直反之亦然事实上，若四面体为垂心四面体，垂心为，则，均与垂直，从而同理，反之，由，过作的垂面交于，设为的垂心，则，所以是面的垂线同样，是面的垂线，四面体的每两条高交于一点，每三条高不共面，所以四条高必交于同一点于是
2、为四面体的垂心，即四面体为垂心四面体性质2垂心四面体的高过底面的垂心，反之亦然事实上，由性质1，设顶点在底面上的射影为，由于，所以的射影同样，即为的垂心性质3垂心四面体对棱的平方和相等反之亦然事实上，由性质2，知在面上的射影为的垂心设交于，则，即有同理，性质4垂心四面体连接对棱中点的线段相等反之亦然事实上，由性质3，设，分别为，的中点，则即证反之，考察过对棱的相互平行的六个平面构成的平行六面体，六面体的棱长恰好等于连结四面体对棱中点的线段，因此，六面体的棱均相等，各面为菱形，菱形对角线（即四面体的对棱）互相垂直由于从性质1性质2性质3性质4性质1，从而性质2，3，4的反之亦然上述性质中的反之亦
3、然，其实也是垂心四面体的四条判定定理由性质4的证明中可知有性质5垂心四面体的外接平行六面体（四面体的棱为平行六面体的侧面对角线）各面是菱形性质6平行于四面体任一组对棱的平面截其余四条棱的截口面为矩形性质7垂心四面体对棱之公垂线共点于垂心性质8垂心四面体的外心、重心、垂心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离2直角四面体直角四面体有如下判定定理和性质：判定定理对棱都垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体事实上，在四面体中，若，则由，知面，从而，即又由，知面，有即证推论1两组对棱垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体推论2四面体一顶点到对面的射影是该面的垂心，且该顶点的三面角的面角中
4、有一个为直角，那么这个四面体是直角四面体显然，上述判定定理及推论的逆命题也是直角四面体的性质为了方便讨论直角四面体的一系列性质引进一些记号：设直角四面体的直三面角是三面角，其体积为，棱，顶点所时的面的面积记为；以棱为二面角棱的二面角大小记为；四面体的内切球、外接球的半径分别记为由于直角四面体是垂心四面体，因此，可得性质1直角四面体具有垂心四面体的所有性质性质2三对对棱中点的连线共点（设为，且此点称为四面体的重心）且互相平分；三对对棱中点的连线长相等，且都等于性质3不含直角的侧面三角形是锐角三角形，且这每一个面角的正切值等于这个面的面积的2倍与该面角所对的棱长平方之比；这每一面角的余弦值等于与此
5、面共顶点的另两个面角余弦值之积性质4（1）；（2），；（3）；（4）下面只给出（4）式的证明思路：由（3）式有又，则，故同理还有两式，相加即证（4）式左端又，在内余弦函数递减，有，即有，由此即证得（4）式右端由性质4（3）及幂平均、算术一几何平均值不等式，我们有推论（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）性质5含直角的侧面面积是它在不含直角的侧面上的射影面积与这不含直角的侧面面积的比例中项性质6性质7二面角大小为（）的两侧面中，含直角的侧面面积与不含直角的侧面面积之比为特别地，时，；时，；时，；时，性质8性质9性质10设为直角四面体的全面积，为6条棱长的乘积，则；性质11直角四面体的四顶
6、点与其所对侧面重心的四条连线共点，共点于三对对棱中点连线的交点亦即七线共点于直角四面体重心性质12直角四面体的四顶点与其所对的侧面垂心的四条连线共点，共点于其直三面角顶点，此点为直角四面体的垂心由此也可知直角四面体是垂心四面体性质13非直三面角体的三顶点与其所对的侧面外心的三条连线共点，共点于不含直角的侧面三角形的重心性质14过含直角的侧面三角形的外心，且与该侧面垂直的三直线共点，共点于直角四面体的外心性质15设、分别为直角四面体四顶点与所对面的重心的连线长（或称四面体的4条中线长），则分析如图23-1，设为侧面的重心，设由三角线中线长公式，有，又由此即有类似可求，由此即获结论性质16，且与对
7、棱中点的连线长相等；外接球的球心是分别过直三面角的三条棱与其所对棱中点的三个平面的公共点性质17；内切球的球心是其棱不共顶点的三个二面角平分面的公共点性质18；旁切球的球心是其相切侧面与另三个延展切面所成二面角平分面（其中只须其棱不共顶点的三个二面角的平分面即可）的公共点证明思路只推证，其余类似推证作外切于侧面的旁切球的外切三棱台，得新四面体，如图23-2由及并注意到性质6、性质17，即可推证的关系式推论1最小，最大，且或推论2或推论3记，则推论4记四顶点到所对面的距离为、，则；（*）还有类似（*）式的三式此略推论5令为四面体六条棱长之和，则；性质19设、是分别过棱及的中点，过棱及的中点，过棱
8、及的中点的截面面积，则，且性质20设、，是分别过棱及的中点，过棱及的中点，过棱及的中点的截面面积，则，且性质21设、分别为过棱与垂直、过棱与垂直、过棱与垂直的截面面积，则，且性质22设、分别为过棱及的平分线，过棱及的平分线，过棱与的平分线的截面面积，则，且性质23在直角四面体中，（1）斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1；（2）斜面上任一点与直角顶点的连线和三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2；（3）斜面上每一条棱与三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1；（4）斜面上每一条棱与三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2；（5）三条直角棱与斜面所成角的余弦的平方和等于2
9、；（6）三条直角棱的平方的倒数和等于直角顶点到斜面的距离的平方的倒数性质24直角四面体的外接平行六面体，（1）当四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是菱形六面体；（2）当四面体的直三面角的三条棱成为平行六面体的棱，其余三条棱成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是长方体3直棱四面体三条相连棱形成三边直角折线（即空间直角四边形）的四面体，称为直棱四面体显然，直棱四面体每个面都是直角三角形，若令，则（1）；（2）；（3）；（4）直角四面体和直棱四面体，都可以看作从长方体上截下的一部分，在部分多面体过程中，在棱、锥、台的计算中，它们经常出现由于它有多方面的垂直关系和比较多的等量
10、关系，有人称之为基本四面体它们可以看作直角三角形在空间的自然推广，是工具性的四面体4等腰四面体从某一顶点出发的三条棱（称为腰）相等的四面体称为等腰四面体，这一顶点称为腰顶点性质1等腰四面体的腰顶点在所对的面的射影为该面的外心反之亦然性质2等腰四面体的腰顶点出发的三条棱与该点所对的面成等角反之亦然性质3等腰四面体的底面为正三角形时，则该四面体为垂心四面体性质4等腰四面体的底面为正三角形，且其边长为腰的压时，则该四面体是等腰直角四面体5拟腰四面体两组对棱分别相等的四面体称为拟腰四面体性质1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是它的棱均成为侧面对角线的外接平行六面体为直平行六面体证明设四面体的外接平行
11、六面体为，侧面与侧面为全等矩形，侧面与侧面为全等矩形为直平行六面体推论1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱中点的连接线段垂直于此二棱推论2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是这两对对棱中点的连接线段均与第三对对棱中点的连接线段垂直推论3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是四面体在平行于这两对对棱中的每一对对棱的每一个平面上的射影为矩形性质2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是两侧面面积相等，且另两侧面面积也相等，或四侧面分成等面积的两组证明此定理即为：在四面体中，必要性（）：显然充分性（）：如图23-3，作四面体的外接平行六面体此时、到底面的距离、相等，作于，于，连，则由，有，从而
12、，即二面角等于二面角，此时二面角的平分面垂直于底面，也就垂直于面，且面交于其中点又可证、两点到此平分面的距离相等设此平分面交于，则为上底面中心同理，由，有二面角的平分面也垂直于两底面，也交于其中点此时且垂直于两底面，故平行六面体为直平面六面体由性质1即证得了充分性性质3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱每条棱所张的二个面角分别相等证明此性质即为：在四面体中，必要性（）：显然充分性（）：如图23-3，作四面体的外接平行六面体由题设，又、四点共球，则和所在的平面截球的截面圆是等圆而、两点到面的距离相等，则过及中点的截面圆必是球的大圆从而、及的中点在过的球的大圆面内同理，、也在过棱的球的
13、大圆面内故、三点共线于这两个大圆面的交线上又，则，从而垂直于平行六面体的两底面、，故知此平行六面体为直平行六面体，由性质1，充分性获证此性质的充分性也可以这样证：设，令，对和应用余弦定理可得同理，得由、可知，若，则，因此论断获证若，则，于是由、推得或，或由托勒密定理及式，可知、四点共圆，与题设矛盾因此充分性获证性质4两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其外心（外接球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）必要性（）：设在四面体中，作四面体的外接平行六面体如图23-3由性质1，即知此平行六面体为直平行六面体，从而上、下底面中心、的连线既是、中点的连线，又是、的公垂线，亦即既是的中垂线，
14、又是的中垂线，因而四面体的外心在上充分性（）：由题设，四面体的外心在一对对棱、的中点、的连线上，则是、的中垂线，从而：垂直于四面体的外接平行六面体的两底面，故此外接平行六面体是直平行六面体由性质1，充分性获证性质5两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其内心（内切球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）证明必要性（）：设在四面体中，作四面体的外接平行六面体如图23-3，则此平行六面体为直平行六面体，故又，则二面角等于二面角而上、下底面中心、所在直线与两相交线所在对角面垂直于两底面，即知此对角面平分二面角同理，与所在对角面也平分二面角故四面体内心在上充分性（）：设四面体的内心在上，则到面、的距离相等，从而到面的距离与到面的距离相等（都等于点到这两个面的距离的两倍）由得同理由性质2即证性质6四面体有两对对棱相等的充要条件是，以这两对对棱为棱的二面角，分别相等证明在四面体中，的充要条件是二面角等于二面角，二面角等于二面角必要性（）：设、分别表示二面角、二面角的平面角的大小，由、，有，如图23-4于是，由三面角余弦公式（如）或三面角全等定理，有，即二面角等于二面角同理，可证二面角等于二面角充分
