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1、学案学案4 4 用样本估计总体与用样本估计总体与 变量的相关性变量的相关性 考点考点1 1 考点考点2 2 考点考点3 3 考点考点4 4 考点考点5 5 考点考点6 6 填填知学情填填知学情 课内考点突破课内考点突破 规规 律律 探探 究究 考考 纲纲 解解 读读 考考 向向 预预 测测 考考 纲纲 解解 读读 1 用 样本 估计 总体 1 了解分布的意义和作用 能根据频率分布表画频率分布直 方图 频率折线图 茎叶图 体会它们各自的特点 2 理解 样本数据标准差的意义和作用 会计算数据标准差 不要求记 忆公式 3 能从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准差 并给出合理的解释 4 会用
2、样本的频率分布估 计总体分布 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特 征 理解用样本估计总体的思想 5 会用随机抽样的基本方法 和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 2 变 量的 相关 性 1 会作两个有关联变量的数据的散点图 并利用散点图认识 变量间的相关关系 2 了解最小二乘法的思想 能根据给出的 线性回归方程系数公式建立线性回归方程 线性回归方程系 数公式不要求记忆 返回目录 名师伴你行 考考 向向 预预 测测 返回目录 2012年高考 试题难度仍以中低档题为主 对总体分布的 估计 线性回归很可能在选择 填空题中考查 对于频率 分布直方图 求线性回归方程以及回归分析 独立性检验
3、 与假设检验等 由于计算量大 因此考解答题的可能性 不大 但也不排除给出数据 公式 以选择题形式考查 名师伴你行 返回目录 1 用样本的频率分布估计总体分布 1 频率分布表与频率分布直方图 频率分布表和频率分布直方图 是从各个小组数据 在样本容量中所占 的角度 来表示数据分 布规律 它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情 况 比例大小 名师伴你行 返回目录 2 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形 就 得到频率分布折线图 3 总体密度曲线 总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比 它能给我们提供更加精细的信息 4 茎叶图 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位
4、数 平均数 上端的中点 名师伴你行 众数 在样本数据中 频率分布最大值所对应的样本 数 据 中位数 样本数据中 累积频率为0 5时所对应的样本 数据值 累积频率 样本数据小于某一数值的频率叫做该数 值点的累积频率 平均数 样本数据的算术平均数 即x 2 标准差的计算公式 s 3 从散点图上看 点散布在 就称这种相关关系为正相关 如果点散布在 返回目录 从左下角到右上角的区域内 从左上角到右下 角的区域内 就称这种相关关系为负相关 名师伴你行 4 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近 我们就称这两个变量之间具有 这条直线叫做回归直线 回归直线方程常记作 5 对于一组具有线性相关关系
5、的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 用最小二乘法 求回归直线系数 a b的公式为 b a 其中 x y 返回目录 y bx 线性相关关系 名师伴你行 通过求Q 的最小值而得出回归直线的方法 即求回归直线 使得样 本 数 据的点到它的距离的平方和最小 这一方法叫做最小 二乘法 返回目录 y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 名师伴你行 返回目录 考点考点1 1 绘制频率分布直方图绘制频率分布直方图 2010年高考安徽卷 某市2010年4月1日 4月30 日对空气污染指数的监测数据如下 主要污染物为可 吸入颗粒物 61 76 70 56 81 91 92 91
6、75 81 88 67 101 103 95 9 1 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 名师伴你行 返回目录 1 完成频率分布表 2 作出频率分布直方图 3 根据国家标准 污染指数在0 50之间时 空气质量为优 在51 100之间时 为良 在101 150之间时 为轻微污染 在 151 200之间时 为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准 对该市的空气质量给出一 个简短评价 名师伴你行 返回目录 分组频数 频率 41 51 2 51 61 1 61 71 4 71 81 6 81 91 10 91 101 5 101 111 1 频率分布表 名
7、师伴你行 返回目录 2 频率分布直方图如图所示 名师伴你行 返回目录 3 答对下述两条中的一条即可 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平 占当 月天数的 有26天处于良的水平 占当月天数的 处于优或良的天数为28 占当月天数的 说明该市空 气质量基本良好 轻微污染有2天 占当月天数的 污染指数在80以上 的接近轻微污染的天数15 加上处于轻微污染的天数17 占当月天数的 超过50 说明该市空气质量有待进 一步改善 名师伴你行 1 列频率分布表时要注意区分频数 频率的意义 2 画频率分布直方图时要注意纵 横坐标代表的意 义及单位 3 通过本题可以掌握总体分布估计的各种常见步骤 和方法 4
8、解决总体分布估计问题的一般步骤如下 先确定分组的组数 分别计算各组的频数及频率 频率 画出频率分布直方图 并作出相应的估计 返回目录 频数 总数 名师伴你行 返回目录 对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 寿命 h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 个 20 30 80 40 30 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在 100 400 以内的概率 4 估计电子元件寿命在400 h以上的概率 名师伴你行 返回目录 解析 1 样本频率分布表如下 2 频率分布直方图如图 分 组频 数频 率 1 0 0 0 0 0 5
9、 0 5 6 0 合 计 名师伴你行 返回目录 3 由频率分布表可以看出 寿命在 100 400 内的电子 元件出现的频率为0 65 所以我们估计电子元件寿命在 100 400 内的概率为0 65 4 由频率分布表可知 寿命在400 h以上的电子元件出现 的频率为0 20 0 15 0 35 故我们估计电子元件寿命在 400 h以上的概率为0 35 名师伴你行 返回目录 考点考点2 2 频率分布直方图的应用频率分布直方图的应用 2010年高考陕西卷 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查 测得身高情况的统计图如图 名师伴你行 返回目录 1 估计该校男生
10、的人数 2 估计该校学生身高在170 185 cm之间的概率 3 从样本中身高在180 190 cm之间的男生中任选2人 求至少有1人身高在185 190 cm之间的概率 分析 在频率直方图中 频率等于矩形的面积 每一小 组的频率等于这小组的频数与样本容量的商 名师伴你行 返回目录 解析 1 样本中男生人数为40 由分层抽样比例为 10 估计全校男生人数为400 2 由统计图知 样本中身高在170 185 cm之间的学生 有14 13 4 3 1 35 人 样本容量为70 所以样本中学生身 高在170 185 cm之间的频率f 0 5 故由f估计该校学 生身高在170 185 cm之间的概率p
11、 0 5 3 样本中身高在180 185 cm之间的男生有4人 设其 编号为 样本中身高在185 190 cm之间的男生 有2人 设其编号为 从上述6人中任选2人的树状图为 名师伴你行 返回目录 故从样本中身高在180 190 cm之间的男生中任选2 人的所有可能结果数为15 至少有1人身高在185 190 cm 之间的可能结果数为9 因此 所求概率p2 名师伴你行 解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键 频率分布指的是 一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 一般用 频率分布直方图反映样本的频率分布 其中 频率分布 直方图中纵轴表示 频率 频率分布直
12、方图中 各小长方形的面积之和为1 因此在频率分布直 方图中 组距是一个固定值 所以长方形高的比也就是频 率之比 频率分布表和频率分布直方 图是一组数据频 率分布的两种形式 前者准确 后者直观 众数为最高矩 形的中点 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直 于横轴的直线与横轴交点的横坐标 返回目录 频率 组距 频数 样本容量 名师伴你行 返回目录 2010年高考湖北卷 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有 关情况 从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼 称得 每条鱼的质量 单位 km 并将所得数据分组 画出频 率分布直方图 如图所示 名师伴你行 返回目录 1 在下面表格中填写相应的频率 分组频率 1
13、 00 1 05 1 05 1 10 1 10 1 15 1 15 1 20 1 20 1 25 1 25 1 30 名师伴你行 2 估计数据落在 1 15 1 30 中的概率为多少 3 将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库 几 天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼 其中带 有记号的鱼有6条 请根据这一情况来估计该水库中鱼的 总条数 返回目录 解析 1 根据频率分布直方图可知 频率 组距 频 率 组距 故可得下表 名师伴你行 返回目录 2 0 30 0 15 0 02 0 47 所以数据落在 1 15 1 30 中的概 率约为0 47 3 2 000 所以水库中鱼的总条数约为2
14、 000条 分组频率 1 00 1 05 0 05 1 05 1 10 0 20 1 10 1 15 0 28 1 15 1 20 0 30 1 20 1 25 0 15 1 25 1 30 0 02 名师伴你行 返回目录 甲 乙两台机床同时加工直径为10mm的零件 为了检 验产品的质量 从产品中各随机抽取6件进行测量 测得 数据如下 单位 mm 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 1 分别计算上述两组数据的平均数和方差 2 根据 1 的计算结果 说明哪一台机床加工的这种零件 更符合要求 考点 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
15、用样本的数字特征估计总体的数字特征 名师伴你行 返回目录 解析解析 1 x甲 100 x乙 100 99 100 2 100 100 2 98 100 2 100 100 2 100 100 2 103 100 2 99 100 2 100 100 2 102 100 2 99 100 2 100 100 2 100 100 2 1 2 因为 说明甲机床加工零件波动比较大 因 此乙机床加工零件更符合要求 分析分析 已知一组数据x1 x2 xn 其平均数为x 方差 为s2 标准差为 分析分析 已知一组数据x1 x2 xn 其平均数为x 方差 为s2 标准差为 名师伴你行 两个机床加工零件的平均数
16、相等 平均数描述了数 据的平均水平 要说明哪一台机床加工的零件更符合要 求 可再用方差来判断 平均数和标准差超过了规定界限 时 说明这批产品质量与生产要求有较大偏差 返回目录 名师伴你行 返回目录 甲 乙两种冬小麦试验品种连续x年的平均单位面积产 量如下 试根据这组数据 估计哪一种小麦品种产量较稳定 品种第1年第2年第3年第4年第5年 甲9 89 910 11010 2 乙9 410 310 89 79 8 名师伴你行 返回目录 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也是10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24 0 02 所以 由这组数据可以认为甲种小麦的产量比乙种小麦 的产量较稳定 名师伴你行 返回目录 某化肥厂甲 乙两个车间包装肥料 在自动包装传送 带上每隔30min抽取一包产品 称其重量 分别记录抽 查数据如下 甲 102 101 99 98 103 98 99 乙 110
