《（试卷）奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十九章双曲线的性质及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（试卷）奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十九章双曲线的性质及应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十九章双曲线的性质及应用【基础知识】双曲线具有一般圆锥曲线的性质外，还具有下述有趣性质：性质1双曲线的左、右焦点为，其上任意一点处的两条焦半径长，当以时，；当时，性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切证明设双曲线方程为，其上任一点，设两焦点为，的中点为，中心为的中点，则，但以实轴为直径的圆与以为直径的圆的半径之和为，即证性质3设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于顶点的任意一点，（I）的最小值为；（）设，则，且；（）设，则当点在双曲线右支上时，；当点在双曲线左支上时，证明（I）当为双曲线顶点时，即取最小值（）在中，由余弦定理，由，有，两式相减，化简即得（）在右支上时，由及正弦定
2、理，有由等比定理，有故，故点在左支上时，同理可证性质4是双曲线上异于顶点的一点，是中心，为其左、右焦点，令，则其证明与椭圆性质8的证明类似性质5直线与双曲线相交、相切、相离的充要条件是且其证明与椭圆性质9的证明类似推论直线与双曲线相交、相切、相离的充要条件是性质6设双曲线的一个焦点为，直线与过顶点，的切线相交于，则（1）直线与双曲线相切或为双曲线的一渐近线；（2）直线与双曲线相离；（3）直线与双曲线相交（或相交于一点）证明设双曲线方程，直线：由消去，得（1）或，直线与双曲线相切或为双曲线的一渐近线；（2）直线与双曲线要离；（3）或或平行于双曲线的一渐近线直线与双曲线相交（或相交于一点）性质7设
3、，是双曲线上的两点，为中心，若，则证明设的倾斜角为，将其参数方程（为参数）代入双曲线方程，得，故同理，两式相加即证注类似地可证明如下结论：（），是过双曲线焦点的弦，若，则（i）当弦，的端点均在双曲线的同一支或均在两支上时，有；（ii）当弦与的端点一组在双曲线的同一支上，另一组在两支上时，有（）是过双曲线焦点的弦，为中心，为双曲线上一点，若，则（i）当，在双曲线的两支上时，有；（ii）当，在双曲线的同一支时，有性质8过双曲线的一个焦点，（I）且与双曲线交于同支的弦，以通径为最短，对于大于通径长的任何一个长度，在同一支上过焦点可作两条不同的弦；（）且与双曲线交于异支的弦，以其实轴长为最短，对于大于
4、实轴长的一个长度，过一个焦点可作两条交于异支的弦证明设双曲线方程为由双曲线的对称性，不妨设弦过双曲线的右焦点，弦的端点分别为，当焦点弦为通径时，容易求得，且该弦是唯一的当焦点弦不是通径时，设弦所在直线方程为，并代入双曲线方程得由此，得（I）当焦点弦与双曲线交于右支上两点时，易知于是若，则，式右边为负数，无实数解，即不存在小于通径的同支焦点弦；若，则中的两解为，易知此时，所以交于右支的弦有两条（）当焦点弦的端点，在双曲线异支上时，易知于是若，则式右边为负，无实数解，即不存在小于实数的交于异支的焦点弦；若，则，即交于异支的焦点弦以实轴为最短；若，则中的两解为，且易知，即交于异支的焦点弦有两条注由上
5、述性质，可得如下易于操作的结论：（1）若，则这样的焦点弦不存在；（2）若，且双曲线非等轴，则弦唯一；（3）若双曲线等轴，且，则焦点弦有两条，分别为实轴和通径；（4）若（或）且当（或）时，焦点弦有两条，它们都交于异支（或同支）上；（5）若（或），焦点弦有三条，一条为实轴，另两条交于同支（或一条为通径，另两条于异支）上；（6）若，焦点弦有四条，两条交于同支上，另两条交于异支上性质9等轴双曲线上点对弦的张角为直角的充要条件是性质10设，双曲线方程为，对于直线的方程，则（1）当在双曲线上时，为双曲线的切线；（2）当在双曲线外时，为双曲线的切点弦直线；（3）当在双曲线内时，为以为中点的弦平行且过此弦端点
6、切线交点的直线事实上，这可由第二十五章的性质7推论后的注即得，这里，其实为点关于双曲线的极线【典型例题与基本方法】例1过双曲线的右焦点作直线交双曲线于，两点，若实数使得的直线恰有3条，则_（1997年全国高中联赛题）解填4理由是：首先注意到，过双曲线的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当该弦与轴垂直时，取得最小长度（事实上，在极坐标系中，可设双曲线的方程为，设，则，当时，等号成立其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能：（i）与双曲线左、右两支都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条此时，与双曲线左、右两支都相交的必是轴，而其两交点间的距离为但仅与右支相交的两条的弦长，这不满足题设条件
7、（ii）与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与轴垂直（否则，由对称性知仅与右支相交的有两条弦），此时，且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件所以例2，为双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，已知，成等差数列（或），且公差大于0试求解由题设，知，则又，则而，从而求得，于是由性质3（），知，即得从而，即例3，是双曲线的左、右焦点，直线与与轴的夹角为，且求双曲线方程（1991年全国高考题）解设，在中，由可得于是，由性质4，有，即，与已知联立求得，故所求双曲线方程为例4求过点，且与双曲线相切的方程解运用性质5，联立方程与消去，可得求得或，因此求得或，即所求切线方
8、程为与，即与为所求例5设点为双曲线右支异于顶点的一点，分别为其左、右焦点，试证：的的内角平分线上的旁心的轨迹方程为：证明设，由性质3（），在中，有，即，从而亦即设的内角平分线上的旁心，则，由，有，即，故例6设点是双曲线上任意一点，过点的直线与两渐近线：，：分别交于点，设入求证：证明依题意，设，则有，且即，且由得即从而故【解题思维策略分析】1注意曲线方程形式的巧设例7过双曲线上任一点作倾斜角为（定值）的直线与双曲线两渐近线交于，则为定值证明双曲线方程为，则渐近线方程为设是双曲线上的点，则过的直线的参数方程为（为参数）由，可得，于是（定值）例8过双曲线上任一点的切线与双曲线两渐近线交于，两点求证：
9、点是线段的中点，证明设双曲线方程为，两渐近线方程为过双曲线上任意一点的切线方程为，切线方程与渐近线方程联立消去，整理得，即由韦达定理，知的中点的横坐标，代入切线方程得，从而的中点坐标为和点坐标相同，由此即证2关注以坐标轴为渐近线的等轴双曲线问题例9求双曲线在第一象限内一支上的一定点与它在第三象限内一支上的一动点之间的最短距离（以的解析式表示）解当以点为中心，为半径的圆与双曲线相切时，达到最小值此时过点的双曲线（，）的切线与垂直设切点的坐标为，过的双曲线的切线方程为（即用代），故，且，于是，即，从而， 所以故例10设双曲线的两支，如图29-1，正三角形的三顶点位于此双曲线上（）求证：，不能都在双
10、曲线的同一支上；（）设在上，在上，求顶点，的坐标（1997年全国高中联赛题）（I）证法1假设，在双曲线的同一支如上，其坐标分别为，设，则直线的斜率，直线的斜率，因此，是钝角，这与是正三角形相矛盾，故，不能都在双曲线的同一支上注由，有，于是即为钝角三角形证法2设，是双曲线上的三点，易得直线的斜率，边上的高线方程为同理，边上的高线方程为联立上述两方程得的垂心，它显然在双曲线上当，在双曲线的同一支如上，则，而在另一支上，即在的外部，即为钝角三角形，故，不能都在双曲线的同一支上（）设，的坐标分别为，这时边上的高线方程为，它必过线段的中点，因此的中点的坐标满足上述方程，于是有，即因，上式中括号的式子显然
11、大于0，则，即于是点的坐标为，而点的坐标为，这说明，关于直线对称，所在的直线分别为过点与直线交成角的相互对称的两条直线，易见其倾斜角分别为和不妨设的倾斜角为，这时它的方程为，即将其与双曲线方程联立，解得点坐标为，由对称性知点的坐标为注由（）的证法2，使我们获得如下结论：三个顶点都在同一等轴双曲线上的三角形的垂心也在此双曲线上由此也启发我们：在处理某些等轴双曲线问题时，可考虑以坐标轴为渐近线的等轴双曲线来讨论例11一直角三角形的三顶点在等轴双曲线上求证：直角顶点处的切线垂直于斜边证明如图29-2，设等轴双曲线方程为，直角三角形的三顶点在等轴双曲线上，直角顶点，其余两顶点，直线，的斜率分别为，由，
12、有过点的切线为，此切线斜率为，于是，故直角顶点处的切线垂直于斜边3借用双曲线知识，求解函数等其他问题例12求函数的值域解令，则且视为参数，在坐标系中，作出直线系及双曲线部分，如图29-3当直线过点时，直线在轴上的截距；当直线与双曲线的左支相切时，由切线公式得截距故函数的值域是例13求二元函数的最小值（1998年“希望杯”竞赛题）解因可看作直线上的点和双曲线上的点的距离的平方式由作图可知，所求最小值为4注意知识的综合运用例13设直线：（其中，为整数）与椭圆交于不同两点、，与双曲线交于不同两点、，问是否存在直线，使得向量若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由解由消去化简整理，得设，则
13、由消去化简整理，得设、，则因为，所以此时由得于是或从而由前一式解得或当时，由、得因是整数，所以的值为，1，2，3当时，由、得因是整数，所以于是，满足条件的直线有9条【模拟实战】习题A1设双曲线，两焦点为，点是双曲线右（或左）支上除顶点外任一点，从焦点（或）作的角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆（除点，）2求曲线与的公切线方程3一直线截双曲线于，两点，与渐近线交于，两点求证：4已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，离心率，且与直线相切求双曲线方程习题B1已知双曲线：，设该双曲线上支的顶点为，且上支与直线交于点，一条以为焦点，为顶点，开口方向向下的抛物线通过点，且的斜率为满足求实数的取值范围2已知双曲线上有一定点，点，为满足的异于点的任意两点求证：过定点15实用文档 专业整理
