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1、考点27利用空间向量求解立体几何中的角与距离（理）【考点分类】热点一 求角问题1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为A. B. C. D.2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知正四棱柱中，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）A B C D设，则,.3.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D） 4.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱
2、长都相等， BAA1=CAA1=60则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.【答案】5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在直三棱柱中，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.，6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】如图，（I）求证：（II）,所以二面角C-PB-A的余弦值为.7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.（）证明： /平面；（）求二面角D-E的正弦值.所以二面角D-E的正弦值为.8.【2013年普通高
3、等学校招生全国统一考试（山东卷）理】如图所示，在三棱锥中，平面，分别是的中点，与交于，与交于点，连接.（）求证：；（）求二面角的余弦值.，所以，令得 同理 ,因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.（）证明：平面;（）若二面角的大小为，求的大小.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】如图5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值.的一个法向量；因为，所以所以直线所成角的正弦值.11.【2013年全国高考新课标（I）理科】如图，三棱柱ABC-A1
4、B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明ABA1C;ABCC1A1B1zxyO（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.ABCC1A1B112.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点. （）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（）设（）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足. 记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：. 所以，从而. 13.(2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15
5、分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA，M，N分别为PB，PD的中点来源:学&科&网Z&X&X&K()证明：MN平面ABCD；() 过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值来源:学科网ZXXK对于平面AMN：设其法向量为14.(2012年高考辽宁卷理科18) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱，点M，N分别为和的中点. ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值.15.(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是
6、线段BC的中点O.（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；ByOCAEzA11B1C1x（2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值.得【方法总结】1利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，得出结论2利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平
7、面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)4利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角热点二 求距离问题16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .17.(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）A2 B C D118.(2012
8、年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_.三棱锥ABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为.19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.20.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】如图，四棱锥中，都是边长为的等边三角形.（I）证明：（II）求点A到平面PCD的距离. 21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（
9、江西卷）文科】如图，直四棱柱中，E为CD上一点，（1） 证明：BE平面；（2） 求点到平面的距离.22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（）证明：中截面是梯形；（）在ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与
10、V的大小关系，并加以证明. 因此四边形、均是梯形.23.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，.()证明：丄；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.24.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（）小问4分（）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（）求点C到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值.【方法总结】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH平面CMN于H.由及nn，得|n|n|n|，所以|，即d.热
11、点三 折叠问题25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】.COBDEACDOBE图1图2如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.CDOxE向量法图yzBCDOBEH所以26.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，.现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值.【考点剖析】一明确要求1.理解直线的方向向量与平面的法
12、向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二命题方向利用向量法求空间角的大小是命题的热点着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力题型多为解答题，难度中档.三规律总结一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题 两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：abab；空间任意两个向量，共线
13、的充要条件是存在，R使ab.若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是且1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接” 四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习学生要特别注意共面向量的概念而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0， 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点【考点模拟】一扎实基础1.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 如图，E、F
