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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件 1复数的有关概念(1)复数定义：形如abi的数叫做复数，其中a，bR，i叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：3复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.情境导学为解决方程
2、x21，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题探究点一复数的概念思考1为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数思考2如何理解虚数单位i?答(1)i21.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律(3)由于i20
3、与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立(4)若i21，那么i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.思考3什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如abi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即zabi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部思考4什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数zabi(a，bR)，当b0时叫做虚数；当a0且b0时，叫做纯虚数思考5复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？答不一定，只有当mR，nR，则m、n才是该复数的实部、虚部例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数23i；3i；i
4、；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；的实部为，虚部为1，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数反思与感悟复数abi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由(1)实部为的虚数；(2)虚部为的虚数；(3)虚部为的纯虚数；(4)实部为的纯虚数解(1)存在且有无数个，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2
5、当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当，即m2时，复数z是实数；(2)当即m0且m2时，复数z是虚数；(3)当，即m3时，复数z是纯虚数反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数跟踪训练2实数m为何值时，复数z(m22m3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.探究点二两个复数相
6、等思考1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小思考2两个复数相等的充要条件是什么？答复数abi与cdi相等的充要条件是ac且bd(a，b，c，dR)例3已知x，y均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求x与y.解由复数相等的充要条件得解得反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练3已知(x22x3)i(xR)，求x的值解由复数相等的定义得解得：x3，所以x3为所求1已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.，1 B.，5C，5 D，1
7、答案C解析令，得a，b5.2下列复数中，满足方程x220的是()A1 BiCi D2i答案C3如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0C1 D1或1答案B解析由题意知，m0.4下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中正确命题的个数为()A3 B4 C5 D6答案B解析命题正确，错误呈重点、现规律1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2两个复数相等，要先确
8、定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断一、基础过关1设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析因为a，bR.“a0”时“复数abi不一定是纯虚数”“复数abi是纯虚数”则“a0”一定成立所以a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件2下列命题正确的是()A若aR，则(a1)i是纯虚数B若a，bR且ab，则aibiC若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1D两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时为纯虚数在A中，若a1，则(a1)
9、i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x1，不成立，故C错误；D正确3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A22i BiC2i D.i答案A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知：复数2i的虚部为2；复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.4若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A. B2 C0 D1答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.5若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0C1 D1或1答案A解析由复数z(x21)(x1)i为纯虚数得解得x1.
10、6设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.答案2解析m2.7已知(2xy1)(y2)i0，求实数x，y的值解(2xy1)(y2)i0，解得所以实数x，y的值分别为，2.二、能力提升8若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()A1 B1 C1 D1或2答案A解析由题意，得解得x1.9z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.答案22解析由z1z2得，解得.10已知集合M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，若MN3，则实数a_.答案1解析由MN3知，3M，即有(a23a1)(a25a6)i3，所以解得a1.11实
11、数m分别为何值时，复数z(m23m18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则，解得m6.所以当m6时，z为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m23m180，且m30，所以当m6且m3时，z为虚数(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则，解得m或m1.所以当m或m1时，z为纯虚数12设z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，若z1z2，求实数m的取值范围解由于z1z2，mR，z1R且z2R，当z1R时，m2m20，m1或m2.当z2R时，m25m40，m1或m4，当m1时，z12，z26，满足z1z2.z11，如何求自然数m，n的值？解因为(mn)(m23m)i1，所以(mn)(m23m)i是实数，从而有由得m0或m3，当m0时，代入得n0，所以n1；当m3时，代入得n1，与n是自然数矛盾，综上可得m0，n1.
