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1、第七章第七章 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程 7 1 求下列方程组的通积分及满足指定条件的解 1 tyx dt dy yx dt dx 2 当时 yx dt dy yx dt dx 2 0 t1 yx 3 xy dz zx dy yz dx 解解 1 方程组的两式相加 得 tyx dt yxd 2 令 上方程化为一阶线性方程 yxz tz dt dz 2 解之得 4 1 2 1 2 1 teCz t 即得一个首次积分为 1 2 1 4 1 2 1 Cetyxyxt t 方程组的两式相减 得 t dt yxd 解之得另一个首次积分为 2 2 2 2 1 Ctyxyxt 易验证 02 11
2、11 detdet 22 11 xx yx 因此 和是两个独立的首次积分 11 Cyxt 22 Cyxt 所以 方程组的通积分为 1 2 1 4 1 2 1 Cetyxyxt t 2 2 2 2 1 Ctyxyxt 从中可解得通解为 8 1 4 1 4 1 8 1 4 1 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ttCeCy ttCeCx t t 2 方程组的两式相比 得 yx yx dy dx 2 变形得恰当方程 02 xdyydxydyxdx 解之得一个首次积分为 1 22 22Cxyyx 即 1 yxt 2 1 22 Cyyx 给方程组第一式乘以 第二式乘以 再相减得 yx 22 222
3、2 yyxxyyxyxxy 1 22 yyx yyyxyyxy 1 22 yyx yyyxyyxy 两边积分 得另一个首次积分为 2 yxt 2 arctanCt yx y 易验证 和是两个独立的首次积分 2 11 Cyxt 22 Cyxt 所以 方程组的通积分为 2 1 22 Cyyx 2 arctanCt yx y 通解为 其中 tCtCy tCCtCCx sincos sin cos 21 1212 211 sinCCC 212 cosCCC 容易得满足时 的解为 0 t1 yx ty ttx cos sincos 3 三个分式相加 得 xy dz zx dyzyxd 0 则一个首次积分
4、为 1 Czyx 给三个分式的分子分母分别乘以 再相加 得 zyx xy zdz zx ydyzyxd 0 222 又得另一个首次积分为 2 222 Czyx 容易验证 是两个独立的首次积分 所以方程组的通 1 Czyx 2 222 Czyx 积分为 1 Czyx 2 222 Czyx 评注评注 求首次积分时 注意利用部分方程的相加 相减 相比 利用比例的基本性质等 还要注意验证首次积分的独立性 7 2 求下列方程的通解及满足给定条件的解 1 0 2 22 z u xzxy y u xzxy x u yyzz 2 9 2 2 333443 yxz y z yxy x z xxy 3 zyx z
5、 u yxu y u xuz x u uzy 4 为自然数 nu z u z y u y x u x n 5 0 y z x z yz 3 0yzx 解解 1 这是一阶线性齐次偏微分方程 它的特征方程组为 xzxy dz xzxy dy yyzz dx 22 2 由此得 zy dz zy dy 即得一个首次积分为 1 22 2Czyzy 又由 得 xzxy dz xzxy dy yyzz dx 22 2 zy dz zy dy yyzz xdx 22 2 2222 2zyz zdz zyy ydy yyzz xdx 利用合比性质得 02 2222 zdzydyxdx zyz ydz zyy y
6、dy yyzz xdx 则另一个首次积分为 2 222 Czyx 容易验证这两个首次积分相互独立 故得原方程的通解 2 22222 zyzyzyxu 其中为任意二元连续可微函数 2 原方程的特征方程组为 922 333443 yxz dz yxy dy xxy dx 由此得 333333 9 2 2 yx z dz xyxy y dy x dx 即 3 3 3 3333 xy z dz xy y dy x dx 因此 1 3 1 lnCxyz 所以得特征方程组的一个首次积分 1 3 1 Cxyz 又 为齐次方程 令 则 43 34 2 2 xxy yxy dx dy uxy 2 2 3 4 u
7、 uu dx du xu 分离变数 得 x dx du uu u 1 2 3 3 即 x dx du uu u 2 1 3 3 2 积分可得 2 2 3 1 lnC xu u 因而得另一首次积分 2 22 33 C yx xy 容易验证这两个首次积分相互独立 故得原方程的隐式解 0 22 33 3 1 yx xy xyz 其中为任意二元连续可微函数 3 原方程的特征方程组为 zyx du yxu dz xuz dy uzy dx 由合比性质得 xy dydx uzyx dudzdydx 3 由此可得一个首次积分 1 3 1 Cxyuzyx 同理 由 yz dzdy uzyx dudzdydx
8、3 可得另一个首次积分 2 3 1 Cyzuzyx 再由 zu dudz uzyx dudzdydx 3 得第三个首次积分 3 3 1 Czuuzyx 容易验证这三个首次积分相互独立 故得原方程的隐式解 0 3 1 3 1 3 1 zuuzyxyzuzyxxyuzyx 其中为任意三元连续可微函数 4 原方程的特征方程为 nu du z dz y dy x dx 不难求得三个独立的首次积分 321 C x u C x z C x y n 于是 原方程的隐式通解为 0 n x u x z x y 其中是各变元的连续可微函数 若能解出 则得通解 u x z x y Fxu n 其中为各变元的连续可微
9、函数 F 5 这是一阶拟线性偏微分方程 它的特征方程组为 01 dzdy yz dx 先求得一个首次积分为 2 Cz 代入得 1 2 dy yC dx 解得另一个首次积分为 即 2 2 2 2CyCx 1 2 2Czyx 容易验证这两个首次积分相互独立 故得原方程的隐式解 0 2 2 zzyx 其中是任意的二元连续可微函数 将代入和 得 故所求满足条件的解为 3 0yzx 2 Cz 1 2 2Czyx 5 2 3 1 CC 即 325 2 zyxz 325 2 xzyz 评注评注 求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程 实际上转化为求解一个常微 分方程组的问题 7 3 求与下列曲面族正交
10、的曲面 为任意常数 a 1 axyz 2 axyz 解解 1 设所求曲面方程为 则过曲面上任一点的法线方向为 yxzz zyx 而曲面在的法线方向为 1 y z x z axyz zyx 1 axay 由于所求曲面与正交 所以在曲面上的点满足 axyz yxzz 01 y z ax x z a y 这是一个一阶拟线性偏微分方程 它的特征方程组为 1 dz ax dy ay dx 由 解得它的一个首次积分为 ax dy ay dx 1 22 1 Cyxzyx 由和 得 1 dz ay dx axyz 1 dz ayx xdx 即 另一个首次积分为 zdzxdx 2 22 2 Czxzyx 由于
11、zx yx zyx zyx 202 022 222 111 即解不为零时 其中的一个二阶子 04 20 02 detdet 22 11 xz z x zy zy zx 矩阵的行列式不为零 所求曲面方程满足 其中是任意的二元连续可 yxzz 0 2222 zxyx 微函数 设所求曲面方程为 则过曲面上任一点的法线方向为 b0 zyxu zyx 而曲面在的法线方向为 z u y u x u axyz zyx xyxzyz 由于所求曲面与正交 所以在曲面上的点满足 axyz 0 zyxu 0 z u xy y u xz x u yz 这是一个一阶线性齐次偏微分方程 它的特征方程组为 xy dz xz
12、 dy yz dx 由 解得它的一个首次积分为 xz dy yz dx 1 22 1 Cyxzyx 由 得另一个首次积分为 xy dz yz dx 2 22 2 Czxzyx 容易验证这两个首次积分相互独立 所求曲面方程满足0 zyxu 0 2222 zxyxzyxu 其中是任意的二元连续可微函数 评注 评注 求与一已知曲面族正交的曲面 问题转化为求解一个一阶拟线性偏 yxzz 微分方程 求与一已知曲面族正交的曲面 问题转化为求解一个一阶线性齐0 zyxu 次偏微分方程 最终均是解一个常微分方程组的问题 7 4 试证方程 1 0 dyyxNdxyxM 有仅与有关的积分因子的充要条件是 x N
13、x N y M 仅是的函数 x 证证 由定理2 2 函数是方程 1 的积分因子的充分必要条件是满足一 yx yx 阶偏微分方程 2 x N y M y M x N 必要性 若方程 1 有仅与有关的积分因子 设为 则必满足偏微分方程 2 x x x 即有 x x N y M x x N 整理得 1 1 x N y M Ndx x d x 这就证明了仅是的函数 N x N y M x 充分性 就是要证明在条件下 一阶偏微分方程 2 有只与有 x N x N y M x 关的解即可 求解一阶拟线性方程 2 它的特征方程为 x N y M d M dy N dx 由第一分式和第三分式得 d N dx
14、x N y M 即 dxx dx N x N y M d 显然 有一个首次积分为 故为方程 2 的一个解 这个解是 1 Ce dxx dxx e 只与有关的函数 这就证明了充分性 x 评注评注 本题是第二章定理 2 2 的结论 1 在这里我们又用一阶拟线性偏微分方程解的理 论进行证明 7 5 证明以坐标原点为顶点的锥面方程可写为 或 0 x z x y x y xz 其中为其变元的可微函数 证 设以坐标原点为顶点的锥面方程为 则其上任一点处的法线方 yxzz zyx 向为 切线方向为 故锥面上的点 1 y z x z zyxzyx 0 0 0 yxzz 满足 zyx 01 z y z y x z x 这是一个一阶线性非齐次偏微分方程 它的特征方程为 z dz y dy x dx 解之得 两个独立的首次积分为 1 C x y 2 C x z 所以锥面方程为 若将解出 得 其中为其变元的可微函0 x z x y x z x y xz 数 评注评注 注意利用锥面的性质建立一阶偏微分方程 类似地 我们可以求得顶点在某一固 定点的锥面方程
