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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限= .(2) 微分方程满足初始条件的特解为 _.(3) 设二元函数，则 _.(4) 设行向量组，线性相关，且，则(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为, 再从中任取一个数，记为, 则= _(6) 设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 0.4 1 0.1已知随机事件与相互独立，则= , = 二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 当取下列哪个值时，函数恰好有
2、两个不同的零点( )(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. (8) 设,其中，则( )(A) . (B).(C) . (D) . (9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是( )(A) 收敛，发散 . (B) 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. (10) 设,下列命题中正确的是( )(A) 是极大值，是极小值. (B)是极小值，是极大值.(C) 是极大值，也是极大值. (D) 是极小值，也是极小值.(11) 以下四个命题中，正确的是( )(A)若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界. (B)若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界. (C)若在(0，1)内有界，则
3、在(0，1)内有界. (D)若在(0，1)内有界，则在(0，1)内有界. (12) 设矩阵= 满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为( )(A) . (B) 3. (C) . (D) . (13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是( )(A) . (B) . (C) . (D) . (14) 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是( )(A) (B) (C) (D) 三 、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤.)(15)(本题满分8分)求 (16)(本题满分8分)设具有二阶连续导数，且，求(17)(本题满分9分)计算二重积分，其中(18)(本题满分9分)求幂级数在区间(-1,1)内的和函数.(19)(本题满分8分)设在0，1上的导数连续，且,.证明：对任何,有 (20)(本题满分13分)已知齐次线性方程组 (I) 和 (II) 同解，求的值.(21)(本题满分13分)设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵,为矩阵.(I) 计算，其中；(II) 利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22)(本题满分13分)设二维随机变量的概率密度为 求：(I) 的边缘概率密度； (II
5、) 的概率密度 (III) (23)(本题满分13分)设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记求：(I) 的方差； (II) 与的协方差 (III) 若是的无偏估计量，求常数.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】2【详解】这是一个型未定式，令有(2)【答案】【详解】方法1：观察原微分方程知，积分得原方程的通解，代入初始条件得，即=2，故所求特解为 .方法2：变量分离法求解.由，分离变量为积分得，即. 去掉绝对值号，认为可取负值，得通解.以代入得=2，得特解.(3)【答案】【详解】求二元函数偏导数时，可将令一变量暂时看作定值。对求偏导数(此时为定值)得
6、,对求偏导数(此时为定值)得 ,于是的全微分为所以，.(4)【答案】【详解】方法1：由题设，向量组线性相关，故其组成的行列式为零，有(其中指数中的1和2分别是所在的行数和列数)(其中指数中的1和2分别是所在的行数和列数)得， 但题设，故方法2：或，不合题意，故 .(5)【答案】【详解】 由全概率公式：=+ +表示从数1,2,3,4中任取一个数，故是等可能取到1,2,3,4，所以，而表示从中任取一个数，也就是说是等可能取到也就是说的条件下等可能取值，即(取1的条件下，取2是不可能事件)(取2的条件下，在1，2等可能取值)(取3的条件下，在1，2，3等可能取值)(取4的条件下，在1，2，3，4等可
7、能取值)故 =+(6)【答案】= 0.4 , = 0.1 【详解】方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质， 有，可知，又事件与相互独立，于是由独立的定义有：，而 由边缘分布的定义： 代入独立等式，得，解得，方法2：如果把独立性理解为：(因为独立，所以发生与发不发生没有关系)，即所以 ;因此 上式两边同乘以，有由乘法公式：，上式即为即. 又因为，得.二、选择题(7)【答案】(C)【详解】先求出函数的单调区间和极值点，从而利用介值定理判定函数的零点。因为=，知可能极值点为，从而可将函数划分为3个严格单调区间：，为严格单调增；，严格单调减；，严格单调增，并且.如果恰好有两个零点，则必有或(否
8、则有三个或一个零点)，解之得或. 故应选(B).(8)【答案】(A)【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。在区域上，除原点及边界外，有 而在内，是严格单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).(9)【答案】(D)【详解】方法1：排除法. 取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项.又的通项，因为发散，所以发散.故排除(C), 从而应选(D). 方法2: 将题设收敛的级数展开由级数基本性质知，收敛级数可以任意添加括号，故应选(D).(10)【答案】(B)【详解】先求出函数的驻点，再判定极值。，显然，所以为驻点。又，且，故是极小值，是极大值，故应
9、选(B).(11)【答案】(C)【详解】方法1：排除法：设, 则及均在内连续，但在内无界，排除(A)、(B); 又在内有界，但在内无界，排除(D). 故应选(C). 方法2：论证法. 如果在区间内有界，则对于正数，使内的一切，有 . 在内取定点，则对于任意有(拉格朗日中值定理)于是 ，所以在内有界.(12)【答案】(A)【详解】 由，(矩阵相等，则对应元素都相等)有，其中为的代数余子式，又由，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，故，故或 而，于是，即是正数，故 故正确选项为(A).(13)【答案】(D)【详解】方法1：利用线性无关的定义分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
10、设有数，使得，则.因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，则当时，方程只有零解，则，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(否则，与=线性相关)，故应选(D).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。由于 ，因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知线性无关. 若，线性无关，则，则，故，从而，从而若，则，又线性无关，则，则从而，线性无关的充要条件是故应选(D).方法3：利用矩阵的秩分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，又，故，线性无关又
11、因为 则(若，与矛盾)方法4：利用线性齐次方程组分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。由，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，线性无关线性无关，只有零解，又只有零解线性无关时只有零解，故，只有零解，的系数矩阵是个可逆矩阵，故应选(D)方法5：由，线性无关分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。向量组和向量组. 显然向量组可以由向量组线性表出；当时，不论的取值如何，向量组可以由向量组线性表出， 从而，是等价向量组当时，(14)【答案】 C 【详解】由题设随机抽取16个零件，相当于为来自总体的简单随机样本，知相互独立。 由正态总体抽样分布的性
12、质：中，当未知时，估计用统计量， ，期望值的置信区间公式其中 满足，本题中， 故的置信度为0.90的置信区间是：，即故应选(C).三 、解答题(15)【详解】 (16)【详解】 由已知条件可得，另一方面我们得到，,所以 =(17)【详解】：为以为中心半径为1 的圆周，划分如下图为与.这时可以去掉绝对值符号D1 D2x2+y2=1方法1： =后一个积分用直角坐标做，.前一个积分用极坐标做，.所以 =+=方法2：由于区域的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将内的函数“扩充”到整个区域=，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即因此 = +由极坐标 .而 所以 =(18)【详解】 设，则 ，由得=， 另一方面，,因此，由牛顿莱布尼兹公式，得， 又由于，故所以 (19)【详解】 方法1：将看成变限. 设，则在0，1上的导数连续，并且，由时，知是单调递增的，所以，又 因此，即在0，1上单调递减.另一方面，由分部积分公式 =，故.因此，时，由此可得对任何，有方法2：=，=由于时，是单调递增的，又由，因此当时有 ，所以 ，从而 (20)【详解】 因方程组(II)
