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1、例 2014年重庆市中考第25题如图1，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PMy轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当BCM的面积最大时，求BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得CNQ为直角三角形，求点Q的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“14重庆25”，拖动点P运动，可以体验到，当BCM面积最大时，点N是OB的中点双击按钮“BCM面积最大”，然后拖动点Q，可以体验到，点C、N、Q都可以成为直角三角
2、形的直角顶点思路点拨1BCM可以分割为共底的BMP和CMP，高的和等于OB为定值，因此当MP最大时，BCM的面积最大2BPN与BCO相似，用相似三角形的周长比等于相似比计算比较简便3设点Q的坐标为(1, m)，把CNQ三边的平方用含m的式子表示出来，然后按照斜边分三种情况列方程满分解答（1）由yx22x3(x1)(x3)，得A(1,0)，B(3, 0)，C(0, 3)（2）由于CMP与BMP是共底三角形，底边MP对应的高的和OB3为定值，所以当MP最大时，BCM的面积最大直线BC的解析式为yx3设点P的横坐标为x，那么P(x,x3)，M(x,x22x3)所以MP(x22x3)(x3)x23x所
3、以当x时，MP最大，BCM的面积也最大此时N是OB的中点由于PN/CO，所以BPNBCO所以BPN的周长等于BCO周长的一半，等于（3）抛物线的对称轴为直线x1设点Q的坐标为(1, m)由C(0, 3)、N(,0)、Q(1, m)，得，当CN为斜边时，解得m此时点Q的坐标为，或当CQ为斜边时， 解得m此时Q当QN为斜边时， 解得m此时Q图2 图3考点伸展第（3）题也可以用相似比来解：如图4，当Q为直角顶点时，所以解得m如图5，当N为直角顶点时，所以解得如图6，当C为直角顶点时，所以解得图4 图5 图6例 2014年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，在ABC中，ABAC10，cosBD、E为线
4、段BC上的两个动点，且DE3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止过E作EF/AC交AB于F，联结DF（1）设BDx，EFy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如果BDF为直角三角形，求BDF的面积；（3）如图2，如果MN过DEF的重心，且MN/BC分别交FD、FE于M、N，求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14宝山25”，拖动点D运动，可以体验到，y是x的一次函数，BDF可以两次成为直角三角形，MN扫过的图形是平行四边形请打开超级画板文件名“14宝山25”，可以体验到，思路点拨1FBE与ABC
5、保持相似，由此可得y关于x的函数关系式2讨论直角BDF，B是定值，按照直角分两种情况3MN2是定值，所以MN扫过的是平行四边形画出运动初始和结束时的图形求MN到BC的距离，从而得到平行四边形的高满分解答（1）如图3，作AHBC，垂足为H，那么H是BC的中点在RtABH中，AB10，cosB，所以BH8，AH6由EF/AC，得，即整理，得定义域是0x13图3 图4 图5（2）因为EF/AC，所以FBEABC所以FBE是等腰三角形，BFEFy如果BDF为直角三角形，存在两种情况：如图4，当BDF90时，D是BE的中点，所以BDDE3此时所以BDF的面积为如图5，当BFD90时，由，得解得此时，所以
6、BDF的面积为（3）线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，面积是考点伸展第（3）题的思路是这样的：因为MN过DEF的重心，且MN/BC，所以为定值，所以MN扫过的图形是平行四边形（如图6）如图7，运动初始，D与B重合，等腰FBE的底边上的高为，所以MN到BC的距离为如图8，运动结束，E与C、F与A重合，ADC的边DC上的高为6，所以MN到BC的距离为2所以平行四边形的高等于所以平行四边形的面积为图6 图7 图8例 2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D
7、在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标
8、也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点D的坐标为(2m,3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E由于EAEDAD，所以因此所以am
9、(x3m)1结合，于是得到x4m当x4m时，ya(xm)(x3m)5am25所以点E的坐标为(4m, 5)所以图2 图3（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G证明如下：作FFx轴于F，那么因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边此时因此所以此时 例 2014年德州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4, 0)，并
10、且OAOC4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F联结EF，当线段EF最短时，求点P的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“14德州24”，拖动点D在AC上运动，可以体验到，矩形EOFD的对角线相等，当ODAC时，OD取得最小值思路点拨1第（2）题通过画图就知道点P是一定存在的，有两个符合条件的点P2第（3）题改变一下主动和从动的关系，问题就好解决了：点D是线段AC上的
11、一个动点，过点D作x轴的平行线交y轴于E，交抛物线于P，作DEx轴于F当线段EF最短时，求点P的坐标满分解答（1）由A(4, 0)，OAOC4OB，得B(1, 0)、C(0, 4)设抛物线的解析式为ya(x1)(x4)，代入点C(0, 4)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)(x4)x23x4（2）设点P的坐标为(x，x23x4)点P存在两种情况：图2 图3如图2，过点C作CA的垂线，交抛物线于P作PMy轴于M由于AOC是等腰直角三角形，所以PMC也是等腰直角三角形由PMMC，得x(x23x4)4解得x3，或x0（舍去）此时点P的坐标为(3, 4)如图3，过点A作AC的垂线，交抛物线于P作PNx轴于N，那么APN是等腰直角三角形由ANPN，得4x(x23x4)解得x2，或x4（舍去）此时点P的坐标为(2,6)（3）如图3，因为矩形EOFD的对角线EFOD，因此EF的最小值就是OD的最小值如图5，当OD与AC垂直时，OD最小如图6，此时OD是等腰直角三角形AOC的高，D为AC的中点，点D的坐标为(2, 2)解方程x23x42，得所以当点P的坐标为或时，线段EF最短图4 图5 图6考点伸展如果把第（2）题改为“是否存在点P，使得ACP是直角三角形”，那么还存在AC为斜边的情况如图7，由，得解得此时点P的坐标为或图78精品文档
