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1、均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的1有3条线段a，b，c，线段a长2.12米，线段b长2.71米，线段c长3.53米如图34-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个不同的梯形问第几号梯形的面积最大? 【分析与解】 第1、2、3号梯形的面积为(a+c)b，(b+c)a，(a+b)c显然3个算式中，除去后的被乘数与乘数的和一定，而两个数和一定时，这两个数越接近，其乘积越大有a+b、c这组数在三组数中相互最接近，即(a+b)c的积最大，号的面积最大2有4
2、袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有，+得：3（a+b+c+d）244,所以a+b+c+d81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82评注：不能把不等式列为，如果这样将+得到3(a
3、+b+c+d)240,a+b+c+d80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况如何避免,希望大家自己解决.3把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大问这个最大乘积是多少?【分析与解】使乘积最大，我们先看2+2=4，22=4；2+3=5，23=6显然分解出来的数当中不能有大于4的数，要不然可以分拆成2与另一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆的2和5的乘积小又因为4=22，故我们可以只考虑将数分拆成2和3注意到2+2+2=6，222=8；3+3=6，33=9，如果分成的数中有三个或三个以上2，则不如将
4、三个2换成两个3，也就是说，分成的数至多只能有两个2，其余都是3根据以上分析，14应分拆成四个3和一个2之和，即14=3+3+3+3+27这五个数的乘积有最大值33332=162评注：把自然数S(S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大4用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ求算式ABCDE-FGHIJ的计算结果的最大值【分析与解】 为了使ABCDE-FGHIJ尽可能的大，ABCDE尽可能的大，FGHIJ尽可能的小则ABCDE最大
5、时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93则FGHIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为46820所以ABCDE-FGHIJ的最大值为75193-46820=60483评注：类似的还可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值为64082-37915=46795 5由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K如果K是整数，那么K的最大值是多少?【分析与解】设这个三位数为=100a+10b+c，它的数字和为a+b+c，则K=,显然b、c应尽量小，尽量大但是必须非零，一一验
6、证：911(9+1+1)=829，811(8+1+1)=811，711(7+1+1)=79，进一步验证可以没有比79大的K存在了，所以说K的最大值为79.评注：但是，有些同学说这样解法不严谨，我们给出K不超过79的证明，即K=79；:当6、c均为1时，有验证过程知K最大为79；： 当b、c至少有一个不为1时，则b、c中至少有一个数大于l，并且a最大为9，现在只需证明出lOOa+lOb+c79a+79b+79c，即21a69b+78c， 而又因为69b+78c692+78=216189121a，即69a+78c21a，也就是说当b、c至少有一个数不为1时，k的最大值小于79；综上所述，K的最大值
7、不超过79，且只有当这个三位数为711时，K为796将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少? 【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7 然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算 87+710+106+69+98=312; 97+710+106+68+89=313所以，最小值为3127一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚
8、能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算为了显示出222222，最少要按“7”键多少次? 【分析与解】2222227=31746，即222222=700003+7000l+7007+704+76，而70000，7000，700，70，7均只用按一次7，所以222222最少只用按3+1+7+4+6=21次“7”键即可显示8一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少? 【分析与解】设这个两位数为=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9ak(mod a+b)特殊的当a+b
9、为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有 (t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足； ：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79
10、(7+9)=415910位小学生的平均身高是1.5米其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米? 【分析与解】 设低于1.5米的有x人，高于1.5米的有y人，那么有1.2x+1.7y=1.5(x+y)，化简有3x=2y，因为x、y均是非零自然数，所以x最小取2，对应y最小取3此时，剩下10-2-3=5人，所以最多有5位同学的身高恰好是1.5米10用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【分析与解】 考虑到对差的影
11、响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为78411在如图34-2
12、所示的28方格表中，第一行的8个方格内依次写着1，2，3，4，5，6，7，8如果再把1，2，3，4，5，6，7，8按适当顺序分别填入第二行的8个方格使得每列两数之差(大减小)的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位将的最大可能值是多少?【分析与解】 要使8个差数两两不同，推知这8个差数是07，差数是0的一列数相同，为使第二行的八位数最大，前四个数能否是8、7、6、5组成的呢?显然不行，因为后四个数将由1、2、3、4组成，这样8个差数就必定有相同的经试算，前四个数依次为8、7、6、4时无解，而前四个数依次为8、7、5、4时，得到87541362即为所求的最大八位数12. 4个不同的真分数的分子
13、都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】 设这四个分数为上、(其中m、n、a、b均为非零自然数)有+=+，则有-=-，我们从m=1,b=1开始试验：=+=+，=+=+，=+=+，=+=+，=+=+， 我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：+=+，所以最小的两个偶数和为6+10=1613.一种小型天平秤备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码为了能称出1克到91克之间的任意一种整数克重量，如果
14、只允许在天平一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个?【分析与解】如果砝码数量最少，那么我们希望重量大的砝码越多越好所以为了能称91克的砝码，至少要10个9克和1个1克的，但这样只能称出9的倍数加1重量的物品.但是为了能称91克以内的任何重量，我们还需要能表示110中所有重量的砝码.我们将其中1个9克用几个小砝码代替：1，3，51，3，5可以称出的重量有：l，3，4，5，6，8，9，如果再加上那块1克重的砝码就可以称出110之间的任何重量了所以我们需要9个9克的砝码，2个1克的砝码，1个3克的砝码，1个5克的砝码共需13个 14.有13个不同的自然数，它们的和是100问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个但是我们必须验证看是否有实例符合当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4它们的和最小为132+4=136，显
