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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数在区间上连续，则是函数的( )跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点. 振荡间断点.yC(0, f(a) A(a, f(a) y=f(x)O B(a,0) xD(2) 如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分等于( )曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积. (3) 设则函数在原点偏导数存在的情况是( ) O xvx2+y2=u2x2+y2=1Duvy(4) 设函数连续. 若，其中区域
2、为图中阴影部分，则( ) (5) 设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则( )不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. (6) 设则在实数域上与合同的矩阵为( ). . (7) 随机变量独立同分布，且分布函数为，则分布函数为( ) . . . . (8) 随机变量，且相关系数，则( ). 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数在内连续，则 . (10) 函数，求积分 .(11) 设，则.(12) 微分方程求方程的特解.(13) 设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为三阶单位矩阵，则 .(14) 设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
3、三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分9分)求极限.(16) (本题满分10分)设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且， (I) 求(II) 记，求.(17) (本题满分11分)计算其中(18) (本题满分10分)设是周期为2的连续函数，(I) 证明对任意实数t都有(II) 证明是周期为2的周期函数(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第年取出(10+9)万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元
4、？(20) (本题满分12分)设元线性方程组，其中，(I)证明行列式；(II)当为何值时，该方程组有唯一解，并求；(III)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10分)设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足. (1)证明线性无关；(2)令，求.(22)(本题满分11分)设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为，记. 求：(I) ；(II) 的概率密度(23) (本题满分11分)设是总体的简单随机样本.记， (I) 证明 是的无偏估计量；(II) 当时 ，求.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】 ，所以是函数
5、的可去间断点(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积(3)【答案】【详解】，故不存在所以存在故选(4)【答案】【详解】用极坐标得 所以 (5)【答案】【详解】，故均可逆(6)【答案】【详解】记，则，又所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.(7)【答案】【详解】(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、由，得 所以 所以. 排除. 故选择二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为 ，又因为在内连续，必在处连续所以 ，即(10)【答案
6、】【详解】，令，得所以 (11)【答案】【详解】(12)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，所以(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 三、解答题(15) 【详解】方法一：方法二：(16) 【详解】(I) (II) 由上一问可知，所以 所以 .O 0.5 2 xD1D3 D2(17) 【详解】 曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数，令，则所以 (II) 由(1)知，对任意的有，记，则. 所以
7、，对任意的，所以是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设，由于，所以为常数，从而有. 而，所以，即.(II) 由(I)知，对任意的有，记，则 ， 由于对任意，所以 ，从而 是常数即有 所以是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则故 设 因为 所以 (万元)故 (万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程， 即 (1)(1)对应的齐次方程 的通解为 设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ，所以(1)的通解为 由，得 故至少为3980万元(20) 【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结
8、论成立假设结论对小于的情况成立将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以 即 (II) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数(21)【详解】(I)证法一：假设线性相关因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.证法二：设存在数，使得 (1)用左乘(1)的两边并由得 (2)(1)(2)得 (3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II) 记，则可逆，所以 .(22)【详解】 (I) (II) 所以 (23) 【详解】(I) 因为，所以，从而因为 所以，是的无偏估计(II)方法一：，所以因为，所以，有，所以因为，所以，又因为，所以,所以所以 .方法二：当时(注意和独立)14精品文档
