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1、（2）等腰三角形、直角三角形一、同步辅导：等腰三角形、直角三角形1、等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性. 2、等腰三角形和等边三角形的性质和判定。 性质判定等腰三角形1.由定义可得：等腰三角形两个腰相等。 2.定理：等腰三角形的两个底角相等。(同一三角形中,等边对等角) 3.定理推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高线互相重合。 4.对称性，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。（底边的中垂线） 1.用定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两
2、个角所对的边也相等。即同一三角形中，等角对等边。 等边三角形1.由定义可得：三边相等。 2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于60。 3.对称性：等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴，即三条边的垂直平分线。 4.具有等腰三角形的所有性质。 1.由定义：三边都相等的三角形是等边三角形。 2.定理推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。3.定理推论：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形1.直角三角形中两个锐角互余。 2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 3.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2
3、=c2 4.直角三角形全等的判定方法除了常用的以外,还有HL. 1.由定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。 二、例题精讲： 说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小. 例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245,求它的顶角的度数. 分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算. 解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x,根据同一三角形中等边对等角,则它的一个底角为，这个顶角
4、的外角为，底角的外角为180-. 由题意可得: (180-x)+180-(180-x)=245 180-x+180-90+x=245 -x=245-270 x=50答:这个三角形顶角为50. 解: (二)设顶角为x,底角为y,顶角外角为(180-x),底角外角为(180-y). 由三角形内角和定理可得:x+2y=180 由题意可得: (180-x)+(180-y)=245, x+y=115, 解方程组得 答:这个三角形顶角为50. 例2.等腰三角形中的一个内角为50,求另外两个角的度数. 分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50的角既可以是顶
5、角又可以是底角,所以要分类进行讨论. 解:若顶角为50时, 由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65. 三角形另外两个角都为65, 若底角为50, 则另一底角也为50,由内角和又可求另一角为 180-(250)=80。 三角形另外两个角一个为50,另一个为80. 例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长. 分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论. 解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为2
6、5cm,底边长为13cm. 等腰三角形周长=25+25+13=63(cm) (2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm, 等腰三角形周长=25+13+13=51(cm) 说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整. 2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cmBC符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=BC,也符合题意.若AB+ACB
7、C时应将这解舍去. 例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。求证：AEBC。 分析：由AB=AC可知ABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AEBC须证AE平分BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ABDACD，得出1=2，再由性质证出AEBC。 证明：在ABD和ACD中， ABDACD（SSS） 1=2（全等三角形的对应角相等） 又AB=AC（已知） AEBC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。 例6.如图在ABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EFBC。 分析：要证明EFBC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之
8、平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰ABC，BC边的中线、高线与BAC的平分线三线合一。 证明：作A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M， ABC中，AB=AC（已知）， ADBC于D （等腰三角形顶角平分线是底边的高线） BAC是AEF的外角（如图） BAC=3+4 （三角形外角等于和它不相邻的两个内角和） AE=AF（已知） 3=4（同一三角形中等边对等角） BAC=24（等式性质）4=BAC， 又2=1（作图），2=BAC（角平分线定义） 2=4（等量代换） AD/EF（内错角相等两直线平行） EMB=ADB（两直线平行同位角相等） ADBC（已证） ADB=90（垂直定义
9、） EMB=90（等量代换） EFBC（垂直定义）。 说明：如果补充定理：若a/b,且ac, 则bc，则可不作EF延长线，证出AD/EF后，再由ADBC，直接可证出EFBC。 例7.如图ABC是等边三角形, ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,DAE=80,BAD=15,求CAE和EDC的度数. 分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60的条件.这样可以从DAC=BAC-BAD求得DAC度数,也就求得了CAE的度数.又可由ADE为等腰三角形,则ADE=(180-DAE),以及ADC是ABD的外角,也可求得EDC的度数. 解:ABC为等边三角形(已知) B=BAC=60
10、(等边三角形的每一个角为60) 2=BAC-1(全量等于部分之和) 1=15(已知)2=60-15=45(等式性质) 又3=DAE-2(全量等于部分之和) DAE=80(已知) 2=45(已求) 3=80-45=35(等式性质),即CAE=35 在ADE中,AD=AE(已知) ADE=AED(同一三角形中,等边对等角) 又ADE+AED+DAE=180(三角形内角和定理) ADE=(180-DAE)=(180-80)=50(等式性质) ADC是ABD外角, 1=15B=60(已求) ADC=1+B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和), =15+60=75(等式性质) EDC=ADC-ADE
11、(全量等于部分之和) =75-50(等量代换) =25 答: CAE为35, EDC为25. 例8.如图,在直角ABC中, BAC=90,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求DAE的度数. 分析: 如图（1）先观察DAE在图形中的位置,首先, DAE是ADE的内角,则DAE=180-(1+2),而1,2又分别是等腰ABE和等腰ADC的底角,又可从中找到1,2与B,C的关系,又B+C=90,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得DAE. 解: (一) BE=AB(已知) 1=BAE(同一三角形中,等边对等角) 1+BAE+B=180(三角形内角和定理) 1=(180-B) (等式性质) 同理可求2=(180-C) 在ADE中,DAE=180-(1+2)(三角形内角和定理) DAE=180-(180-B)+(180-C)(等量代换) =180-(180-B-C) =(B+C) 又BAC=90(已知) BAC+B+C=180(三角形内角和定理) B+C=180-90=90(等式性质) DAE=(B+C)(已证) =90(等量代换) =45答: DAE的度数为4
