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1、7-4-1.简单的排列问题教学目标1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取
2、出个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原
3、理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中例题精讲模块一、排列之计算【例 1】 计算： ； 【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 由排列数公式知： ,，所以【答案】 【巩固】 计算： ； 【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 【答案】 【巩固
4、】 计算：； 【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ；【答案】 模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排) 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有人，可以看成有个位置由这人来站由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选人照相，所以，问题就转化成从四个人中选人，排在个位置中的排列问题要计算的是有多少种排法由排列数公式，共可能有：(种)不同的拍照情况也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：(种)不同的拍照情况【
5、答案】【巩固】 4名同学到照相馆照相他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 个人到照相馆照相，那么个人要分坐在四个不同的位置上所以这是一个从个元素中选个，排成一列的问题这时，由排列数公式知，共有(种)不同的排法【答案】【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果问题是名同学站成一排照相，则是个元素的全排列的问题，有种不同站法而问题中，个人要站成两排，这时可以这么想，把个人排成一排后，左边个人站在前排，右边个人站在后排，所以实质上，还是个人站个
6、位置的全排列问题方法一：由全排列公式，共有(种)不同的排法方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个【答案】【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且由全排列公式，共有(种)不同的站法【答案】【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人
7、去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4由全排列公式，共有(种)不同的站法【答案】【例 3】 5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_种？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】 个人全排列有种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是种【答案】60种【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (种)【答案】【例 5】 班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员问：有
8、多少种不同的分工方式？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (种)【答案】【例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中，由排列数公式知，共可组成(种)不同的信号【答案】【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示
9、一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 【答案】【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题由排列数公式，共可以组成(种)不同的信号方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗
10、子中任取一个，有种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有种方法剩下那面旗子，放在最低位置根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：(种)【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化【答案】模块三、排列之数字问题【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这是一个从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数
11、公式，一共可以组成(个)不同的四位数【答案】【巩固】 由数字、可以组成多少没有重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 【答案】【例 8】 用、可以组成多少个没重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法）本题中要注意的是不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从、这四个数字中选择一个，有种方法；十位和个位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种方法由乘法原理得，此种三位数的个数是：(个)（法）：从、中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是的从、这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是的三
12、位数有个三位数的个数是：(个)本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素【答案】【例 9】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数【答案】【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于组成偶数，个位上
13、的数应从，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的张中选二张，有(种)选法由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数【答案】【例 10】 由，组成无重复数字的数，四位数有多少个？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为，由于不能在千位上，而以为千位数的四位数有，它们的差就是由，组成无重复数字的四位数的个数，即为：个方法二：完成这件事组成一个四位数，可分为个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：(个)【答案】【例 11】 用、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？ 【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有个； 两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数； 三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的
