《2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（文）试题（PDF版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（文）试题（PDF版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 数 学 文科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 10 页 时量 120 分钟 满分 150 分 得分 第 卷 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知集合 A x 1 x 5 B x x2 3x 2 0 则 AB B A x 2 x 5 B x 2 x 5 C x 2 x 5 D x 2 x 5 解析 A x 1 x 5 B x x2 3x 2 0 x 1 x 2 AB x 2 x0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆命题为真命题 D 命题 若 m2 n2 0 则 m 0 且
2、 n 0 的否命题是 若 m2 n2 0 则 m 0 或 n 0 解析 C项命题的逆命题为 若方程x2 x m 0有实根 则m 0 若方程有实根 则 1 4m 0 即 m 1 4 不能推出 m 0 所以不是真命题 3 用二分法求函数 f x ln x 1 x 1 在区间 0 1 上的零点 要求精确度为 0 01 时 所需二分区 间的次数最少为 C A 5 B 6 C 7 D 8 解析 开区间 0 1 的长度等于 1 每经过一次操作 区间长度变为原来的一半 经过 n 次操作后 区间长度变为 1 2n 精确度为 0 01 1 2nsin 4 B 4 故 cos B 1 3 故 sin C 4 2
3、6 由 a sin A c sin C 得 c 4 2 2 故选 A 2 5 已知 x y 1 0 7x y 7 0 x 0 y 0 表示的平面区域为 D 若 x y D 2x y a 为真命题 则实数 a 的取值 范围是 A A 5 B 2 C 1 D 0 解析 绘制不等式组表示的可行域如图所示 结合目标函数的几何意义可得目标函数 z 2x y 在点 B 处取得最大值 联立直线方程 x y 1 0 7x y 7 0 可得 x 4 3 y 7 3 即 B 4 3 7 3 则 zmax 2 4 3 7 3 5 结合恒成立的条件可知 a 5 即实数 a 的取值范围是 5 故选 A 6 已知点 1
4、2 和 3 3 0 在直线 l ax y 1 0 a 0 的两侧 则直线 l 倾斜角的取值范围是 C A 4 3 B 2 3 5 6 C 0 3 3 4 D 3 2 3 解析 点 1 2 和 3 3 0 在直线 l ax y 1 0 a 0 的两侧 a 2 1 3 3a 1 0 解得 1 ax1时 不等式 f x1 x2 f x2 x1 2 所以 2 A 2 B 0 所以 sin A sin 2 B cos B 因为 f x 在 0 1 上为增函数 所以 f sin A f cos B 选 A 12 定义 对于函数 y f x x D 若存在常数 c 对于任意 x1 D 存在唯一的 x2 D
5、使得 f x1 f x2 2 c 则称函数 f x 在 D 上的 均值 为 c 若 f x lg x x 10 100 则函数 f x lg x 在 10 100 上的 均值 为 C A 3 2 B 3 4 C 5 4 D 10 解析 假设存在常数 c 对于任意 x1 10 100 存在唯一 x2 10 100 使得 lg x1 lg x2 2 c 即 x1x2 102c 则 x2 102c x1 故当 x1 10 100 时 x2 102c 100 102c 10 又 x2 10 100 5 102c 100 10 102c 10 100 从而 102c 100 10 即 102c 10 5
6、 2 c 5 4 故选 C 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C C A A C D D D B A C 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为 选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13 观察下列式子 1 1 22 3 2 1 1 22 1 32 5 3 1 1 22 1 32 1 42 7 4 根据以上式子可以猜想 1 1 22 1 32 1 201926 635 可以在犯错概率不超过 0
7、01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关 7 分 6 人中有男生 4 人 设为 A1 A2 A3 A4 女生 2 人 设为 B1 B2 随机抽取两人所有的情况为 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 B1 A1 B2 A2 A3 A2 A4 A2 B1 A2 B2 A3 A4 A3 B1 A3 B2 A4 B1 A4 B2 B1 B2 共 15 种 其中一男一女包含 8 种情况 故概率为 P 8 15 12 分 18 本小题满分 12 分 已知数列 an 是公比为 3 的等比数列 且 a2 a3 6 a4成等差数列 求数列 an 的通项公式 记 bn an log3an 1 求数列 bn
8、的前 n 项和 Tn 解析 由题意可得 2 a3 6 a2 a4 即 2 9a1 6 3a1 27a1 解得 a1 1 3 分 数列 an 的通项公式为 an 3n 1 5 分 bn an log3an 1 3n 1 n 7 分 Tn b1 b2 b3 bn 1 2 3 n 30 31 32 3n 1 n n 1 2 1 3n 1 3 n n 1 2 3n 1 2 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 BB1C1C 为菱形 B1C 的中点为 O 且 AO 平面 BB1C1C 证明 B1C AB 8 若 AC AB1 CBB1 60 BC 1 求 B1
9、到平面 ABC 的距离 解析 证明 连接 BC1 则 O 为 B1C 与 BC1的交点 侧面 BB1C1C 为菱形 BC1 B1C 2 分 AO 平面 BB1C1C AO B1C 4 分 AO BC1 O B1C 平面 ABO AB 平面 ABO B1C AB 6 分 作 OD BC 垂足为 D 连接 AD 作 OH AD 垂足为 H BC AO BC OD AO OD O BC 平面 AOD OH BC OH AD BC AD D OH 平面 ABC 8 分 CBB1 60 CBB1为等边三角形 BC 1 OD 3 4 AC AB1 OA 1 2B1C 1 2 AD OD2 OA2 7 4
10、由 OH AD OD OA OH 21 14 O 为 B1C 的中点 B1到平面 ABC 的距离为 21 7 12 分 9 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O 焦点在 x 轴上 焦距为 2 6 点 2 1 在该椭圆上 求椭圆 C 的方程 直线 x 2 与椭圆交于 P Q 两点 P 点位于第一象限 A B 是椭圆上位于直线 x 2 两侧的动点 当 点 A B 运动时 满足 APQ BPQ 问直线 AB 的斜率是否为定值 若为定值 求出此定值 若不为定 值 请说明理由 解析 因为椭圆 C 的对称中心为原点 O 焦点在 x 轴上 所以设椭圆方程为 x2 a2 y2 b2
11、1 因为焦距为 2 6 所以 c 6 设焦点坐标 F1 6 0 F2 6 0 又因为点 2 1 在该椭圆上 代入椭圆方程得 4 a2 1 b2 1 即 4 a2 1 a2 6 1 解得 a2 8 所以 b2 2 则椭圆 C 的方程为 x2 8 y2 2 1 4 分 将 x 2 代入椭圆方程可得 4 8 y2 2 1 解得 y 1 则 P 2 1 Q 2 1 当点 A B 运动时 满足 APQ BPQ 则直线 PA 与直线 PB 的斜率互为相反数 不妨设 kPA k 0 则 kPB k k 0 6 分 所以直线 PA 的方程为 y 1 k x 2 联立 y 1 k x 2 x2 8 y2 2 1
12、 解得 1 4k2 x2 8k 16k2 x 16k2 16k 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 因为 2 x1是该方程的两根 所以 2x1 16k2 16k 4 1 4k2 即 x1 8k2 8k 2 1 4k2 8 分 同理直线 PB 的方程为 y kx 2k 1 且 x2 8k2 8k 2 1 4k2 10 所以 x1 x2 16k2 4 1 4k2 x1 x2 16k 1 4k2 所以 kAB y1 y2 x1 x2 k x1 x2 4k x1 x2 1 2 即直线 AB 的斜率为定值 1 2 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x mln x 1 2x 2
13、m R m 0 若 m 2 求 f x 在 1 f 1 处的切线方程 若 y f x 在 e e 上有零点 求 m 的取值范围 解析 m 2 时 f 1 1 2 f x 2 x x f 1 1 故所求切线方程为 y 1 2 x 1 即 2x 2y 3 0 4 分 依题意 f x m x x 1 x m x m x 当 00 此时函数 y f x 无零点 8 分 当 e m0 f x 单调递增 若 x m e f x e 时 f e m e 2 0 故只需 f e 0 即 m 1 2e 2 0 又 e e 2 2 故此时 e0 t2 0 由参数 t 的几何意义可知 PA t1 PB t2 所以
14、1 PA 1 PB 1 t1 1 t2 1 t1 1 t2 t1 t2 t1t2 1 3 2 10 分 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x a x 2 若 f x 的最小值为 3 求实数 a 的值 若 a 2 时 不等式 f x 4 的解集为 A 当 m n A 时 求证 mn 4 2 m n 解析 因为 f x x a x 2 x a x 2 a 2 当且仅当 x a x 2 0 时取 号 所以 a 2 3 解得 a 1 或 5 5 分 当 a 2 时 f x x 2 x 2 2x x 2 4 2 x 2 2x x 2 当 x 2 时 由 f x 4 得 2x 4 解得 x 2 又 x 2 所以不等式无实数解 当 2 x 2 时 f x 4 恒成立 所以 2 x 2 当 x 2 时 由 f x 4 得 2x 4 解得 x 2 所以 f x 4 的解集为 A x 2 x 2 12 mn 4 2 4 m n 2 m2n2 8mn 16 4 m2 n2 2mn m2n2 16 4m2 4n2 m2n2 4m2 16 4n2 m2 4 n2 4 因为 m n 2 2 所以 m2 4 0 n2 4 0 所以 mn 4 2 4 m n 2 0 即 mn 4 2 4 m n 2 所以 mn 4 2 m n 10 分
