《2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学（理）试题（解析版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省南京师范大学附属中学2019届高三5月模拟数学理试题20195一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A，B，则AB 答案：0，1考点：集合的运算解析：A A1，0，1 B AB0，12已知复数z(12i)(ai)，其中i是虚数单位若z的实部与虛部相等，则实数a的值为 答案：3考点：复数的运算解析：z(12i)(ai)a2(2a1)i 由z的实部与虛部相等得：a22a1，解得a的值为33某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是
2、答案：18考点：系统抽样方法解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为1843张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 答案：考点：古典概型解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2种情况，所以P5函数的定义域为 答案：0，1)考点：函数的定义域解析：由题意得：，解得0x1，所以函数的定义域为0，1)6下图是一个算法流程图，则输出的k的值为 答案：3考点：算法初步解析：n取值由13631，与之对应的k为0123，
3、所以当n取1时，k是37若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为 答案：考点：棱锥的体积解析：由于AA1平面BCC1B1，所以点P到平面BCC1B1的距离就是点A1到平面BCC1B1的距离为，所以VPBCC1B18在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：上，且在第四象限内已知曲线C在点P处的切线为，则实数b的值为 答案：13考点：函数的切线解析： 曲线C在点P处的切线为 P在第四象限 x2，求得y9 b922139已知函数(0)是定义在R上的奇函数，则的值为 答案：考点：三角函数的图像与性质解析： 是定义在R上的奇函数 ，Z，由0
4、求得 ，则10如果函数(m，nR且m2，n0)在区间，2上单调递减，那么mn的最大值为 答案：18考点：二次函数的性质解析：当m2时，要使在区间，2上单调递减，则n8，此时mn2n无最大值，不符题意，舍去当m2时，是开口向上的抛物线，对称轴为x，要使在区间，2上单调递减，则2，即0n122m，所以mnm(122m)2m(6m)18，当且仅当m3取“”，所以mn的最大值为1811已知椭圆与双曲线(a0，b0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1PF1F2，则双曲线的离心率为 答案：考点：圆锥曲线的定义、性质解析：由题意得：F1PF1F22，则P
5、F2，所以2a2()4，则a2，所以e12在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：上位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为，则点B的坐标为 答案：(6，3)考点：直线与圆解析：设点B(，)，则AB，求得点A到直线l的距离为，又因为弦长为，所以AB，由求得 ，因为点B位于第一象限，所以6（负值已舍去），故点B的坐标为(6，3)13已知数列的前n项和为，则满足20193000的正整数m的所有取值为 答案：20，21考点：等差数列、等比数列前n项和解析：当m为奇数时，显然是单调递增的，又，所以m取21符合题意；当m为偶数时，又，所以m取20符合题意综
6、上所述，正整数m的所有取值为20，2114已知等边三角形ABC的边长为2，点N、T分别为线段BC、CA上的动点，则取值的集合为 答案：6考点：平面向量的坐标运算解析：建立如图所示的平面直角坐标系 则A(0，)，B(1，0)，C(1，0) 由得M(，)，设N(n，0)，直线AC为：，设T(t，) 所以， ， 则二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是（1）求cos()的值；（2）若以x轴正半轴为始边的钝角的终
7、边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为，求的值解析：因为锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知sin .从而cos .(3分)(1) cos()cos cos sin sin ().(6分)(2) 因为钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是，所以cos ，从而sin .(8分)于是sin()sin cos cos sin ().(10分)因为为锐角，为钝角，所以(，)，(12分)从而.(14分)16（本小题满分14分）如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AFl，M是线段EF的中点（1）求证：AM平面BDE；（2）求证
8、：AM平面BDF解析：证明：(1) 设ACBDO，连结OE， 四边形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD对角线的交点，来源:学。科。网 O是AC的中点又点M是EF的中点， EMAO，EMAO. 四边形AOEM是平行四边形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC. 平面ABCD平面ACEFAC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分) 正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF
9、是矩形 AF1， 四边形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17（本小题满分14分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q己知AB长为40米，设BOP为2（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形COPQ的周长为，求的表达式；（2）要使改建成的展示区COP
10、Q的面积最大，求sin的值解析：解：(1) 连结PC.由条件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OCOPcos(2)100(54cos 2)(2分)因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQPQ，所以PQ2PC2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四边形COPQ的周长为f()COOPPQQC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ的面积为S()，则S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos
11、22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin 的值为.(14分)18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x4和直线x1相交于点M、N试判断是否为定值，并说明理由解析：解：(1) 依题意，2ca2，所以c1，b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 因为直线l分别
12、与直线x4和直线x1相交，所以直线l一定存在斜率(6分) 设直线l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24(4k23)4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|， ，即为定值.(16分)19（本小题满分16分）已知数列满足()，数列的前n项和()，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设，记是数列的前n项和，求正整数m，使得对于任意的均有解析：解：(1) a122；(2分) 当n2时，an2n.所以数列an的通项公式为an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因为n3，所以n20，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，
