《2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学(理)试题(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学(理)试题(解析版)(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学(理)试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】C【解析】先化简集合,求出,即可求出结果.【详解】由题意得,则,.故选:C.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2已知向量与方向相反,则( )A2B4C8D16【答案】B【解析】由与关系,求出,即可求出结果.【详解】,又向量与方向相反,且,.故选:B.【点睛】本题考查向量间的关系,以及向量的坐标表示,属于基础题.3若,且,则下列不等式一定成立的是( )ABCD【答案】D【解析】取特殊值排除选项,然后再用不等式性质证明其它选项.【详解】取,排除A;取,排除B,C,故选D.或推导选项D正
2、确如下:.故选:D【点睛】本题考查不等式的性质,解题注意特殊方法的应用,属于基础题.4下列命题中正确的是( )A,B,C若是真命题,则是假命题D是假命题【答案】C【解析】取特殊值判断A,B选项不正确;根据或且非的命题关系,判断选项C正确;选项D不正确.【详解】,故A错误;当时,故B错误;是真命题,是假命题,是真命题,是假命题,故C正确;选项D显然错误 .故选:C.【点睛】本题考查判断命题的真假,属于基础题.5“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法
3、的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列的项数为( )A167B168C169D170【答案】C【解析】根据题意得出的通项,即可求解.【详解】由题意得,被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数,由,得,此数列的项数为169.故选:C.【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用,考查等差数列的通项公式,以及考查计算能力,属于基础题.6已知函数为奇函数,则( )ABCD【答案】B【解析】根据奇函数的定义,求出的值,即可
4、求出结论.【详解】函数为奇函数,解得,则.故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,考查特殊角的三角函数,属于基础题.7曲线,以及直线所围成封闭图形的面积为( )ABCD【答案】A【解析】利用定积分的几何意义,即可得到结论.【详解】由题意得.故选A.【点睛】本题考查区域面积的计算,根据定积分的几何意义,是解题的关键,属于基础题.8在中,内角,所对的边分别为,已知,若的面积为,则( )ABCD【答案】B【解析】根据正弦定理,把角化为边,结合面积公式,再用余弦定理,即可求解.【详解】由题意得,.又,解得,.故选:B.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式,在解三角形中的应用,属于基础题.
5、9已知函数,当时,与的图象可能是( )ABCD【答案】D【解析】根据函数、的性质,利用排除法即可得出选项.【详解】由题意得,函数,均为偶函数,故排除A选项;当时,当时,与的图象在上有一个交点,故选:D【点睛】本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性,综合性比较强.10已知数列的通项公式为,则数列的前2020项和为( )ABCD【答案】C【解析】化简通项公式,即可求解.【详解】,当为偶数时,数列的前2020项和为.故选:C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和,属于中档题.11已知函数,现有如下命题:函数的最小正周期为;函数的最大值为;是函数图象的一条对称轴.其中正确命题的个数
6、为( )A0B1C2D3【答案】D【解析】作出函数的图像,结合三角函数的性质,逐项分析,即可求解.【详解】由题意得,函数的最小正周期为,故正确;当时,;当,;当时,.作出函数的图象如图所示,可知正确.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质,图像是解题的重要辅助手段,属于中档题.12已知函数,若存在,使得,且,则的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】求导,确定,的关系,把表示成关于的函数,再利用求导的方法,求出最小值.【详解】,由题意得,方程的两正根分别为,解得,且,则,;令,则;当时,恒成立,在上单调递减,即的最小值为.故选A.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值,构造函数是
7、解题的关键,考查等价转化数学思想,是一道综合题.二、填空题13已知实数,满足,则目标函数的最大值是_.【答案】【解析】作出可行域,数形结合即可求解目标函数的最值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,其中,.作直线:,平移直线,当其经过点时,取得最大值,即.故答案为:15【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,考查线性目标函数的最值,属于基础题.14平行四边形中,点是线段的中点,若,则_.【答案】【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理,可得,利用对应系数相等即可求解.【详解】,.故答案为:【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行
8、四边形法则、向量的减法,属于基础题.15设为数列的前项和,已知,对任意,都有,则(且)的最小值为_.【答案】【解析】取,得出是等比数列,求出,转化为关于的函数,利用求最值的方法即可求解.【详解】当时,数列是首项为2,公比为2的等比数列,当且仅当,即时,等号成立.故答案为:32【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式,考查基本不等式的应用,属于中档题.16若直线既是曲线的切线,又是曲线的切线,则_.【答案】或【解析】设两曲线的切点坐标,各自求出切线方程,利用两切线重合关系,即可求解.【详解】令,则,.设切点分别,则切线方程为,即;,即,即,或.当时,切线方程为,;当时,切线方程为,.
9、综上所述,或.故答案为: 或【点睛】本题考查函数图像的切线求法,考查导数的几何意义,考查计算能力,属于较难题.三、解答题17已知:,:函数在区间上没有零点.()若,且命题为真命题,求实数的取值范围;()若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】()实数的取值范围是;()实数的取值范围是.【解析】()首先求出命题、为真命题时的取值范围,然后再根据“且”命题的真假判断方法确定、的真假性即可求解.()由是成立的充分不必要条件,得出两命题中的集合之间的包含关系,从而求出参数的取值范围.【详解】()当时,:,由函数在区间没有零点,得或,解得或,为真命题,为真命题,为假命题,当为假命题时,实数的
10、取值范围是.()是成立的充分不必要条件,又恒成立,或,解得,实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查命题的真假求参数的取值范围,解题的关键是根据命题的关系推出集合之间的关系,属于基础题.18把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位,向上平移个单位,然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来,所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点,且.(1)求解析式;(2)求的值.【答案】(1) (2) 【解析】(1)根据平移变换和伸缩变换得出解析式,结合几何意义即可求出;(2)根据函数性质,求出三点横坐标之间关系,代入函数即可求解.【详解】(1)由题意可得, ,且,. (2)设,则,即
11、则解得,则,.【点睛】此题考查三角函数图像性质,平移变换和伸缩变换,尤其结合图像特征求解参数对数形结合能力要求较高.19已知函数.()当时,证明:有且只有一个零点;()求函数的极值.【答案】()详见解析; ()当时,极大值为,极小值为;当时,无极值;当时,极大值为,极小值为.【解析】(1)求导,确定函数的单调区间,结合零点存在性定理,即可求证;(2)求导,对分类讨论,求出单调区间,进而确定是否有极值,即可求解.【详解】()当时,定义域为,在上单调递增,至多有一个零点.又,则,在上有且只有一个零点.()由题意得,当时,当时,当时,当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为;当时,
12、函数在上单调递增,无极值;当时,当时,当时,当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为.【点睛】本题考查导数在函数中的应用,涉及到函数的单调性,零点的存在性,以及极值,属于中档题.20已知为数列的前项和,.()求数列的通项公式;()若,求数列的前项和.【答案】(); ().【解析】(1)由前项和与通项关系,即可求出通项公式;(2)根据数列的通项公式特征,可用错位相减法或裂项相消法求前项和.【详解】()令,得,解得,即;当时,当时,适合上式,.()方法一:由题意得,两式相减得,整理得,.方法二:由题意得,.【点睛】本题考查已知数列的前和求通项公式,以及用错位相减法或裂项相消法求数
13、列的前项和,考查计算能力,属于中档题.21在中,内角,的对边分别是,已知,点是的中点.()求的值;()若,求中线的最大值.【答案】(); ().【解析】(1)由正弦定理,已知条件等式化边为角,结合两角和的正弦公式,可求解;(2)根据余弦定理求出边的不等量关系,再用余弦定理把用表示,即可求解;或用向量关系把用表示,转化为求的最值.【详解】()由已知及正弦定理得.又,且,即.()方法一:在中,由余弦定理得,当且仅当时取等号,.是边上的中线,在和中,由余弦定理得,.由,得,当且仅当时,取最大值.方法二:在中,由余弦定理得,当且仅当时取等号,.是边上的中线,两边平方得,当且仅当时,取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用,考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用,是一道综合题.22已知函数,.()若,判断函数的单调性;()若对于,恒成立,求实数的取值范