《2020届湖南省高三上学期第六次月考数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届湖南省高三上学期第六次月考数学（理）试题（解析版）（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学（理）试题一、单选题1设集合， ，则（ ）ABCD【答案】B【解析】A=x|y=log2（2x）=x|x2，B=x|x23x+20=x|1x2，则AB=x|x1，故选B2设为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）ABC1D【答案】A【解析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数，再根据复数是纯虚数即实部为零，得到方程解得.【详解】解：又因为复数是纯虚数解得故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题.3已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）A该超市2018
2、年的12个月中的7月份的收益最高B该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法
3、正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.4已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用诱导公式及二倍角公式将变形为，再代入求值即可.【详解】解：故选：5已知，满足，则（）ABCD【答案】A【解析】根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到0,，进而得到结果.【详解】已知,=,0, 进而得到.故答案为A.【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.6
4、函数图象的大致形状是（）ABCD【答案】C【解析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在内正负情况，即可排除所有错误选项.【详解】则，是偶函数，排除B、D.当时，即，排除A.故选:C.【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.7公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他
5、1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选8函数，且在上单调，则下列说法正确的是( )ABC函数在上单调递增D函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，在上单调，解得，解得，对于选项A，显然不正确对于选项B，故B不正确对于选项C，当时，所以函数单调递增，故C正确对于选项D，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确综上选C点睛：解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数
6、的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化9中，满足，则的面积的最大值为（ ）AB2CD【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到，利用模长公式以及基本不等式得到，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】,即 ，即 所以所以 故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10已知双曲线：（，），分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意
7、，设一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，与渐近线交于，则，为的中点，又是的中点，为直角，为直角三角形，由勾股定理得，则.故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11在正方体中，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）存在，的某一位置，使 的面积为定值当时，直线与直线一定异面 无论，运动到何位置，均有ABCD【答案】D【解析】依次判断，每个选项：当
8、，分别为棱，的中点时满足，正确；取特殊位置的面积为变化，故错误；假设不成立推出矛盾，正确；平面，正确.得到答案.【详解】当，分别为棱，的中点时满足，正确；当与重合时：；当与重合时：（为正方体边长），错误；当时，假设直线与直线是共面直线，则与共面，矛盾，正确；如图所示：分别为在平面内的投影，易证平面，正确.故选： 【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力.12若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数的取值.【详解】解： 在内有两解，令则在为减函数，在上为增函数，
9、当时，取得最小值且当时，故选：【点睛】本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.二、填空题13若ax2+的展开式中x5的系数是80，则实数a=_.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.14在菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为_【答案】.【解析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可【详解】解：取中点，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，等边三角形中心为，等边三角形
10、中心为，外接球球心为，则，则半径为，因为外接球表面积为，则，所以，所以，故选：【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题15已知数列满足，则(1)_，(2)_.【答案】. . 【解析】（1）将已知等式中的换为，作差即求得；（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和【详解】解：（1），当时，可得，得，；为以为首项，的等差数列，（2） 由（1）得为公差为3的等差数列，又由可得，则故答案为：；【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题16如图，哈尔滨市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城
11、的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为_千米.【答案】【解析】设为,联立可得,利用可得,则,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得即可【详解】由题,设为,由图易得,联立可得,则,即,因为为,为,则,当且仅当,即时取等,即故答案为：【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力三、解答题17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD
12、长的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，化简可得，进一步得到，然后求出的值；（2）由（1）的角及三角形面积公式可得的值，因为D为边AC的中点，所以，利用向量的模和基本不等式可求的取值范围，即可得到的最小值.【详解】解：（1）由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，则，所以， 所以，即.（2）由ABC的面积为，即，得.因为D为边AC的中点，所以，所以，即，当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题18已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将ADE沿DE折起，使ACD为等边三
13、角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；（2）求角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）过点作平面，垂足为，连接，证明在的垂直平分线上，则点在平面内的射影在直线上，（2）以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的向量为轴建立空间直角坐标系设正方形的边长为，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角的正弦值【详解】（1）证明：过点A作AG平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.因为ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.另证：过点A作AGEF，再证AGCD，从而证得AG平面BCDE，即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上（2）解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，则 ， 所以设平面的一个法向量为，则，令，得，又平面的一个法向量所以，.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，
