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1、1 临川一中临川一中 20192019 届高三暑期测试理科数学试题届高三暑期测试理科数学试题 一 单选题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 若集合 2 1 0 1 2 A 集合 3 2 0 1 B 则 BA A 0 1 2 B 1 2 3 C 0 1 2 3 D 1 0 1 2 3 2 复数的虚部为 22 11 ii ii A B C 3 D 3 3i3i 3 等 差 数 列9 27 39 963741 前则数列中 nn aaaaaaaa 项 的 和 9 S等 于 A 66 B 99 C 144 D 297 4 若 f x是奇函数 且在 0 内是增函数 又 3 0f 则
2、0 xf x 的解集是 A 303 xxx 或 B 33 x xx 或0 C 33 x xx 或 D 303 xxx 或0 5 设 sincos4 sin3 则 22 3sincos A 13 5 B 5 13 C 13 5 D 5 13 6 下列说法中正确的是 A 为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见 用系统抽样的方法从中抽取一个容量 为 40 的样本 则分组的组距为 40 B 函数在定义域内单调递增 的否定为真命题 C 是 的必要条件 D 函数与函数的图象关于直线对称 7 若关于方程的一个实根小于 1 另一个实根大于 1 则实x 22 120 xmxm 数的取值范围是 m A
3、B C D 2 2 2 0 2 1 0 1 8 在三棱锥中 底面是直角三角形 其斜边 平面SABC ABC 4AB SC 且 则三棱锥的外接球的表面积为 ABC3SC 2 A B C D 25 20 16 13 9 北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术 所谓隙积 即 积之有隙 者 如果棋 层坛之类 这种长方台形状的物体垛积 设隙积共层 上底由个物体组成 以下各层na b 的长 宽一次各增加一个物体 最下层 即下底 由个物体组成 沈括给出求隙积中c d 物体总数的公式为 已知由若干个相同小球粘黏 22 6 n sbd abd c 6 n ca 组成的几何体垛积的三视图如图所示 则该垛积中所有
4、小球的个数为 A 83 B 84 C 85 D 86 10 点是双曲线右支上一点 分别为左 右焦点 的内切圆与轴相切于点 若点为线段中点 则双曲线离心率为 A B C 3 D 2 11 定义在上的偶函数 其导函数为 若对任意的实数 都有恒成立 则使成立的实数 的取值范围为 A B 1 1 C 1 1 D 1 0 0 1 12 定 义 在R上 的 函 数 f x满 足 1 2 2 f xf x 当 0 2x 时 2 3 1 2 1 2 01 2 2 12 x xx f x x 函数 32 3g xxxm 若 4 2 4 2st 不 等式 0f sg t 成立 则实数m的取值范围 A 12 B 4
5、 C 8 D 31 2 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 定积分 3 14 如图所示的程序框图 若输入 2015 n 则输出的s值为 是是否否 开始开始1nn 结束结束 3 sin n ss 1n 输出输出s 输入输入n0s 15 某个班级组织元旦晚会 一共准备了 六个节目 节目演出顺序第一个节目只能排 或 最后一个节目不能排 且 要求相邻出场 则不同的节目顺序共有 种 16 记若是等差数列 则称为数列的 等差均值 若是等比数列 则称为数列的 等比均 值 已知数列的 等差均值 为 2 数列的 等比均值 为 3 记 数列的前项和为 若对任 意的正整数 都有 则实
6、数的取值范围是 三 解答题 17 本小题满分 12 分 已知角 A B C 为 ABC 的三个内角 其对边分别为 a b c 若 a 2 且 2 sin 2 cos AA m 2 sin 2 cos AA n 3 2 1 nm 1 若 ABC 的面积 S 求 b c 的值 3 2 求 b c 的取值范围 18 本小题满分 12 分 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查 在使用华为手机的用户中 随机抽取 100 名 按年龄 单位 岁 进行统计的频率分 布直方图如图 1 根据频率分布直方图 分别求出样 本的平均数 同一组数据用该区间的中 点值作代表 和中位数的估计值 均精确到
7、 个位 2 在抽取的这 100 名市民中 按年龄 进行分层抽样 抽取 20 人参加华为手机宣传活动 现从这 20 人中 随机选取 2 人各赠送一 部华为手机 记这 2 名市民年龄在内的人数为 求的分布列及数学期望 4 19 本小题满分 12 分 如图 在矩形中 是的中点 将沿向上折起 使平面平面 求证 求二面角的大小 20 本小题满分 12 分 平面直角坐标系中 经过椭圆 的xOyC 22 22 1 0 xy ab ab 一个焦点的直线与相交于两点 为的中点 且斜率是30 xy C M NPMNOP 1 4 求椭圆的方程 C 直线 分别与椭圆和圆 相切于点 求的最大lCD 222 xyrbra
8、 AB AB 值 21 本小题满分 12 分 已知函数 为自然对数的底 为常数 e1 x f xax eaR 讨论函数的单调性 f x 对 于 函 数和 若 存 在 常 数 对 于 任 意 不 等 式 h x g x k mxR 都成立 则称直线是函数的分界线 设 h xkxmg x ykxm h xg x1a 问函数与函数是否存在 分界线 若存在 求出常数 若 f x 2 21g xxx k m 不存在 说明理由 5 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 已知直线 的参数
9、方程为 其中 为参数 以坐标原l cos sin xt yt t 点为 极 点 以轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 曲 线的 极 坐 标 方 程 为OxC 其中 2 2cos40m m0 1 若点的直角坐标为 且点在曲线内 求实数的取值范围 M 3 3MCm 2 若 当变化时 求直线 被曲线截得的弦长的取值范围 3m lC 23 本小题满分 10 分 已知 1 当时 求不等式的解集 2 若关于的不等式恒成立 求的取值范围 6 临川一中 2019 届高三暑期测试理科数学试题 二 单选题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 ACBDA BDACD BC 二 填空题
10、 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 84 3 2 三 解答题 17 本小题满分 12 分 已知角 A B C 为 ABC 的三个内角 其对边分别为 a b c 若 a 2 且 2 sin 2 cos AA m 2 sin 2 cos AA n 3 2 1 nm 1 若 ABC 的面积 S 求 b c 的值 3 2 求 b c 的取值范围 答案 1 2 的取值范围是 4bc bc 4 32 解析 试题分析 1 由可得 可得 又由 2 1 nm 1 2 cosA 2 3 A 2 3 1 ABC SbcsinA 可得 最后由余弦定理可求 4bc 4bc 试题解析 1 cos sin
11、cos sin 且 m 2 A 2 A n 2 A 2 A m n 1 2 cos2 sin2 即 又 2 A 2 A1 2 1 2 cosA 2 0 3 AA 又由 所以 2 3 1 ABC SbcsinA 4bc 由余弦定理得 22222 2 2cos 3 abcbcbcbc 故 2 由正弦定理得 4 2 16bc 4bc sinsinsin bca BCA 2 3 2 sin 3 3 BCA 又 7 0 B 则 B44444 33 bcsinBsinCsinBsinBsin B 又 3 3 则 sin B 1 3 2 3 3 23 即的取值范围是 bc 4 32 18 本小题满分 12
12、分 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查 在使用华为手机的用户中 随机抽取 100 名 按年龄 单位 岁 进行统计的频率分布直方图 如图 1 根据频率分布直方图 分别求出样本的平均数 同一组数据用该区间的中点值作代表 和中位数的估计值 均精确到个位 2 在抽取的这 100 名市民中 按年龄进行分层抽样 抽取 20 人参加华为手机宣传活动 现从这 20 人中 随机选取 2 人各赠送一部华为手机 求这 2 名市民年龄都在内的人数为 求的分布列及数学期望 答案 1 39 39 2 见解析 解析 分析 1 根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数 根据中位数对应概率为 0 5 列式
13、可得结果 2 先根据分层抽样得区间人数 再确定随机变量取法 利用组合数 求对应区间概率 列表可得分布列 最后根据数学期望公式求期望 详解 解 平均值的估计值 中位数的估计值 因为 8 所以中位数位于区间年龄段中 设中位数为 所以 用分层抽样的方法 抽取的 20 人 应有 6 人位于年龄段内 14 人位于年龄段外 依题意 的可能值为 0 1 2 分布列为 0 1 2 点睛 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为 第一步是 判断取值 即判断随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 第二步是 探求概率 即利用排列组合 枚举法 概率公式 常见的有古典概型公式 几何 概型公式 互斥事件的概率和
14、公式 独立事件的概率积公式 以及对立事件的概率公式等 求出随机变量取每个值时的概率 第三步是 写分布列 即按规范形式写出分布列 并注意用分布列的性质检验所求的分布 列或某事件的概率是否正确 第四步是 求期望值 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 对于有些 实际问题中的随机变量 如果能够断定它服从某常见的典型分布 如二项分布 则此随机变 量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式 求得 因此 应熟记常见的典型分布的期望 公式 可加快解题速度 19 本小题满分 12 分 如图 在矩形中 是的中点 将沿向上折起 使平面平面 求证 9 求二面角的大小 答案 见解析 90 解析 试题分析 根
15、据题意可得 的值 可推出 根据平面 平面且是交线 即 可证明 平面 从而证明 设中点为 中点为 连接 可推出 则 平面 即可以为坐 标原点 分别以所在直线为轴 轴建立空间直角坐标系 分别求出平面和平面的一个法向量 利用空间向量夹角的余弦公式即可得结果 试题解析 证明 由题意可知 在中 所以 平面 平面且是交线 平面 平面 平面 解 设中点为 中点为 连接 平面 以为坐标原点 分别以所在直线为轴 轴建立空间直角坐标系 如图 则 从而 设为平面的法向量 则 可以取 设为平面的法向量 则可以取 因此 有 即平面 平面 故二面角的大小为 90 10 点睛 本题主要考查线线垂直及利用空间向量求二面角 属
16、于难题 空间向量解答立体几何 问题的一般步骤是 1 观察图形 建立恰当的空间直角坐标系 2 写出相应点的坐标 求出相应直线的方向向量 3 设出相应平面的法向量 利用两直线垂直数量积为零列出 方程组求出法向量 4 将空间位置关系转化为向量关系 5 根据定理结论求出相应的 角 20 本小题满分 12 分 平面直角坐标系中 经过椭圆 的xOyC 22 22 1 0 xy ab ab 一个焦点的直线与相交于两点 为的中点 且斜率是30 xy C M NPMNOP 1 4 求椭圆的方程 C 直线 分别与椭圆和圆 相切于点 求的最大lCD 222 xyrbra AB AB 值 答案 1 2 2 1 4 x y 解析 试题分析 设出点 M N 的坐标 利用点差法计算可得 结合焦点坐标有 据 22 4ab 22 3ab 此计算可得椭圆的方程是 C 2 2 1 4 x y 设分别为直线 与椭圆和圆的切点 联立直线与椭圆的方程有 A Bl 00 A xy 利用判别式 可得 直线 222 148440kxkmxm 0 0 4k x m 0 1 y m 与圆相切 则圆心到直线的距离等于半径 据此可得 则l 2
