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1、内蒙古呼和浩特市2020届高三数学上学期质量普查调研考试试题 理（含解析）注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题时,考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分,答题时间120分钟.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷无效.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.复数满足,则复数在复平
2、面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：由得,所以复数在复平面内对应的点在第一象限,故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合,集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合A,B,根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得,所以,即：.故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算,不等式的解法,解题关键在于正确求解不等式,并用数轴表示集合之间的关系,属于容易题.3.在同一直角坐标系中,函数且图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不同取值情况
3、,分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和,结合选项,判断得出正确结论.题目不难,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时,函数过定点且单调递减,则函数过定点且单调递增,函数过定点且单调递减,D选项符合；当时,函数过定点且单调递增,则函数过定点且单调递减,函数过定点且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.【点睛】易出现的错误有,一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟,导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围,认识函数的单调性.4.设,且是第二象限的角,则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由二倍角公式可得,根据同角三角函数关系求出,再利用正切函数的
4、二倍角公式即可.【详解】由得,因为是第二象限的角,所以,所以,所以,所以,故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、特殊角的三角函数值,属于中档题.5.函数和的图像在上交点的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】函数图象交点的个数可转化为方程根的个数,解方程即可求解.【详解】由得,所以,亦即或,当时,的值在内可以为,0,当时,的值在内可以为,0,所以在的根为,0,或,故选:B【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形、三角函数求值,考查了转化思想,属于中档题.6.已知函数满足,则等于（ ）A. 0B. 2C. 8D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据
5、条件可知函数关于对称,根据对称性可知,利用定积分性质即可求解.【详解】由得关于对称.所以,所以,故选：C【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定积分的几何意义,定积分的运算性质,属于中档题.7.已知等比数列满足,则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数列为等比数列可得,可证明是以为首项,为公比的新等比数列,根据等比数列前n项和计算即可.【详解】,整理得及解得或-3（舍）,对于,设,则,其本质是以为首项,为公比的新等比数列的前项和,故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式,考查了等比数列基本量的运算,属于中档题.8.已知,若在区间上单调时,的取值集合为
6、,对不等式恒成立时,的取值集合为,则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简函数,由题意知,从而可知,由不等式恒成立,分离参数可知恒成立,可求出,由充分条件、必要条件定义即可判断“”是“”的充分非必要条件.【详解】,可知函数周期,由题可知函数在区间,故该区间长度需小于等于半个周期,及,对于不等式,；设,；不等式等价于恒成立,及,对于,及集合,“”是“”的充分非必要条件,故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数单调区间求解,不等式恒成立问题,基本不等式、充分必要条件的判断,属于难题.9.在平面直角坐标系中,已知
7、点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为（ ）A. -2B. 0C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】设点,点,可得,利用二次函数求最值即可.【详解】设点,点,则,；当时,的最小值为-3,故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算、数量积及函数最值问题,属于中档题.10.等差数列的公差不为0,是其前项和,给出下列命题：若,且,则和都是中的最大项；给定,对一切,都有；若,则中一定有最小项；存在,使得和同号.其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】中可推导,结合,可知数列前5项为正,第6项为0,即可判断结论正误根据等差数列中下标之和相等则项的
8、和相等的性质,可判断正误时,不论首项的符号,都能判断中一定有最小项根据等差数列的定义可知和分别为,即可判断正误.【详解】对于若,可得,即,所以和都是中的最大项,正确；根据等差中项性质可知,所以是正确的；根据等差数列求和公式可知,当时,是最小值；当,或时取最大值；和,因为,所以和异号,故是错误的.【点睛】本题考查等差数列的定义,通项公式和前项和的性质,属于中档题.11.已知函数满足,且,则函数零点的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B【解析】【分析】根据,可得,即有,可推出,解方程,得或,判断零点个数即可.【详解】,代入,得,.或,；,如图所示,函数与函数的图像交点个数
9、为2个,所以的解得个数为2个；综上,零点个数为3个,故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用,以及函数与方程问题,函数的零点个数,数形结合,属于难题.12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此,3可表示为“”,26可表示为“”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）A. 9B. 13C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；其中数字组合
10、3、3,7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数,共个,因此可表示的两位数为16个.【详解】根据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每组可以表示2个两位数,则可以表示个两位数；数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数,则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数.故选:C【点睛】本题主要考查了数学文化,并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力,属于中档题.第卷（非选择题共90分）本卷包含必考题和选考题两部分,第13题21题为必
11、考题,每个试题考生都必须作答；第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案直接填在题中横线上.）13.已知实数满足约束条件,则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“
12、一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.如图,在等腰梯形中,于点,如果选择向量与作基底,则可用该基底表示为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知为的中点,根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可得为的中点,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,涉及向量的加、减法则,属于中档题.15.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人,使每人所得份量成等差数
13、列,且较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为_.【答案】【解析】【详解】设此等差数列为an,公差为d,则 （a3+a4+a5）=a1+a2,即,解得a1=,d=最小一份为a1,故答案为16.已知常数,函数的图像过点,若,则的值是_.【答案】【解析】【分析】将点代入函数解析式,联立可得,结合,化简得,解方程即可求解.【详解】由条件在函数图象上,则,即,所以函数图象上,则,即,所以得,又所以由,显然可知,均不为0,因为,故上式可化为,解之得：.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的性质及其运算.,需要有很强的代数变形能力和运算求解能力,属于难题.三、解答题（本大题共6个小题,满分70分,
14、解答写出文字说明,证明过程或演算过程）17.已知函数,.（1）若是第二象限角,且,求的值；（2）求的最大值,及最大值对应的的取值.【答案】（1）（2）的最大值为3,此时【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简,由求,根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知,根据正弦函数性质求解即可.【详解】（1）,则,则,是第二象限角,.（2）.当时,取得最大值3,此时,即.【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数,结合三角函数图像求最值,属于中档题.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）判断函数的导函数在上的单调性；并求出函数在上的最大值.【答案】（1）（2）在上单调递增,在上单调递减；【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可知,点斜式即可求出切线方程（2）导数在上为正,所以单调递增,当时,单调递减,同时,可知在上单调递增,在上单调递减,即可根据极值求函数的最大值.【详解】（1）,切点,所以切线方程为.（2）,令得,当时,单调递增；当时,单调递减；且,所以在上单调递
