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1、 1 江苏省泰州中学江苏省泰州中学 如东高级中学如东高级中学 靖江高级中学靖江高级中学 宜兴中学宜兴中学 2018 20192018 2019 学年高一上学期期中联考数学试题学年高一上学期期中联考数学试题 一 填空题 一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题 小题 共共 70 70 0 0 分 分 1 已知集合 P x 0 x 6 集合 Q x x 3 0 则 P Q 答案 x 3 x 6 解析 分析 根据集合的交集运算 可求得集合 P 与集合 Q 的交集 详解 集合 P x 0 x 6 集合 Q x x 3 0 集合 Q x x 3 0 即 集合 Q x x 3 由集合交集运算可得 P
2、Q x 3 x 6 点睛 本题考查了集合的交集运算 属于基础题 2 函数的定义域为 答案 解析 所以定义域为 3 已知幂函数的图象过点 则 答案 解析 试 题 分 析 设 幂 函 数 为 由 题 设 则 即 故 故应填答案 考点 幂函数的定义及求值运用 4 若 g x x2 x x 1 1 的值域为 答案 0 2 解析 分析 2 根据函数定义域为 x 1 1 代入函数 g x 的解析式即可得函数值 详解 因为 x 1 1 代入 g x x2 x 可得 g 1 0 g 1 2 所以值域为 0 2 点睛 本题考查了函数定义域与值域的关系 注意定义域为两个单独的 x 值 不是区间 是易错题 属于基础
3、题 5 设函数 f x 则 f f 2 答案 3 解析 分析 根据分段函数 先求得 f 2 0 再将 f 0 代入即可求得值 详解 根据分段函数定义域 可得 f 2 4 2 6 0 则 f f 2 f 0 3 点睛 本题考查了分段函数求值 注意自变量的取值情况即可 属于基础题 6 已知a 0 32 b log20 3 c 20 3 则a b c的大小关系为 答案 c a b 解析 故 点睛 指数 对数的比较大小 结合图象来判断大小 可以较容易的得到大小关系 具体可 以通过与 0 和 1 的大小比较 解得答案 7 已知函数 且 的图象如图所示 则的值是 答案 解析 由函数 且 过点代入表达式得
4、所以 3 8 函数且恒过定点 答案 解析 分析 由题意 函数 令 即时 解得 即可得到答案 详解 由题意 函数 令 即时 解得 即函数的图象恒过点 点睛 本题主要考查了对函数的性质及过定点问题 其中解答中熟记对数函数的基本性质 合理选择求解的方法是解答的关键 着重考查了分析问题和解答问题的能力 属于基础题 9 若方程 lgx 5 x 的根 x0 k k 1 其中 k Z 则 k 的值为 答案 4 解析 分析 根据题意 将方程化为 lgx x 5 0 令函数 f x lgx x 5 由零点存在定理即可判断出零 点所在区间 详解 由题意构造函数 f x lgx x 5 则 f 5 lg5 5 5
5、lg50 f 4 lg4 4 5 lg4 10 所以函数零点在 4 5 即整数 k 4 点睛 本题考查了方程与函数的关系 方程的解与函数零点 函数零点存在定理的简单应 用 属于基础题 10 函数的单调递增区间是 答案 4 4 解析 由得 令 则 时 为减函数 时 为增函数 为增函数 故函数的单 调区间是 答案为 4 方法点睛 本题主要考查对数函数的性质 复合函数的单调性 属于中档题 复合函数的单 调性的判断可以综合考查两个函数的单调性 因此也是命题的热点 判断复合函数单调性要 注意把握两点 一是要同时考虑两个函数的的定义域 二是同时考虑两个函数的单调性 正 确理解 同增异减 的含义 增增 增
6、减减 增 增减 减 减增 减 11 已知函数 f x x3 lg x 5 若 f a 3 则 f a 答案 7 解析 分析 由题意 代入 a 可得 f a a3 lg a 5 3 化简得 a3 lg a 2 再代入 a 化简即可 详解 根据题意 当 x a 时 f a 3 代入化简可得 f a a3 lg a 5 3 即 a3 lg a 2 当 x a 时 代入得 f a a 3 lg a 5 a3 lg a 5 a3 5 a3 5 a3 5 2 5 7 点睛 本题考查了函数值的求法及化简 注意对数式化简中 分子有理化 方法的应用 属于中档题 12 已知函数 则不等式的解集是 答案 1 3 解
7、析 分析 5 先判断函数的单调性 由 可得或 解不等式即可 得到所求解集 详解 当时 在上递增 由 可得或 解得或 即为或 即 即有解集为 故答案为 点睛 本题主要考查分段函数的解析式 分段函数解不等式 属于中档题 对于分段函数解 析式的考查是命题的动向之一 这类问题的特点是综合性强 对抽象思维能力要求高 因此 解决这类题一定要层次清楚 思路清晰 13 记号表示中取较大的数 如 已知函数是定义域为 的奇函 数 且当时 若对任意 都有 则实数 的 取值范围是 答案 解析 由题意 当时 令 解得 此时 令 解得 此时 又因为函数是定义域 上的奇函数 所以图象关于原点对称 且 所以函数的图象如图所示
8、 要使得 根据图象的平移变换 可得且 解得且 即且 6 点睛 本题主要考查了分段函数图象与性质的综合应用 其中解答中借助新定义 得到函数 在的解析式 并作出函数的图象 在根据函数的奇偶性 得到函数的图象 由 根据图象的变换得出相应的条件 即可求解 的取值范围 解答中正确得到函数的图象 利 用图象得到是解答关键 14 已知函数是定义域为 上的偶函数 当时 若关于 的方 程 有且仅有 8 个不同实数根 则实数 的取值范围是 答案 解析 试题分析 当时 单调递减 当时 单调递增 由于函数 是定义域为 上的偶函数 则在和上递减 在和上递增 当时 函数取得极大值 当时 函数取得极小值 当时 要使得 关于
9、 的方程 有且仅有 个不同的实数根 设 则的 两根均为 有且仅有 个不同的实数根 则 解得 所以实数 的取值范围是 7 考点 方程根的个数的判定 方法点晴 本题主要考查了方程中根的个数的判定问题 其中解答中涉及到函数的单调性 和函数的奇偶性的运用 函数的零点的判定及应用 以及方程与函数的零点的关系 本题的 解得中熟练掌握一元二次方程的根的分布是解答的关键 着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力 以及转化与化归思想的考查 试题有一定的难度 属于中档试题 二 解答题 二 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 共共 80 80 0 0 分 分 15 求值 1 2 答案 1 45 2 6 解
10、析 试题分析 1 根据指数运算性质 进行化简求值 2 根据对数运算 性质 进行化简求值 试题解析 1 原式 2 原式 16 已知集合 集合 集合 1 求 2 若 求实数 的取值范围 答案 1 2 或 解析 试题分析 1 根据定义域求得集合 A 根据值域求得集合 B 再根据数轴求交集 2 先将 条件转化为集合包含关系 再根据空集讨论 最后根据数轴研究两集合包含关系 试题解析 1 即 即 8 2 当 为空集满足条件 当即时 又 综上或 点睛 1 认清元素的属性 解决集合问题时 认清集合中元素的属性 是点集 数集或其他 情形 和化简集合是正确求解的两个先决条件 2 注意元素的互异性 在解决含参数的集
11、合问题时 要注意检验集合中元素的互异性 否则 很可能会因为不满足 互异性 而导致解题错误 3 防范空集 在解决有关等集合问题时 往往忽略空集的情况 一定先考虑 是否成立 以防漏解 17 已知 f x x 2 2 1 判断 f x 的奇偶性并说明理由 2 求证 函数 f x 在 2 2 上是增函数 3 若 f 2 a f 1 2a 0 求实数 a 的取值范围 答案 1 见解析 2 见解析 3 解析 试题分析 1 定义域 关于原点对称 同时满足 f x f 2 所以是奇函数 2 由定 义法证明函数的单调性 按假设 作差 变形 判断 下结论过程完成 3 由奇函数 原 不等式变形为 f 2 a f 1
12、 2a f 2a 1 再由函数单调性及定义域可知 解不等式组可解 试题解析 1 解 f x f x f x 是奇函数 2 证明 设 x1 x2 为区间 2 2 上的任意两个值 且 x1 x2 则 f x1 f x2 因为 2 x1 x20 x1x2 4 0 所以 f x1 f x2 0 f x1 0 得 f 2 a f 1 2a f 2a 9 1 因为函数 f x 在 2 2 上是增函数 所以即 故 a 18 如图在长为 10 千米的河流的一侧有一条观光带 观光带的前一部分为曲线段 设 曲线段为函数 单位 千米 的图象 且图象的最高点为 观光带的后一部分为线段 1 求函数为曲线段的函数的解析式
13、 2 若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带 绿化带仅 由线段构成 其中点 在线段上 当长为多少时 绿化带的总长度最长 答案 1 2 解析 分析 1 由题意首先求得a b c的值 然后分段确定函数的解析式即可 2 设 由题意得到关于t的函数 结合二次函数的性质确定当长为多少 时 绿化带的总长度最长即可 详解 1 因为曲线段OAB过点O 且最高点为 解得 所以 当时 因为后一部分为线段BC 10 当时 综上 2 设 则 由 得 所以点 所以 绿化带的总长度 所以当时 点睛 本题考查分段函数求函数值 要确定好自变量的取值范围 再代入相应的解析式求 得对应的函数值 分段函数分段处理 这
14、是研究分段函数图象和性质最核心的理念 19 已知 y f x 是偶函数 定义 x 0 时 f x 1 求 f 2 2 当 x 3 时 求 f x 的解析式 3 设函数 y f x 在区间 5 5 上的最大值为 g a 试求 g a 的表达式 答案 1 2 2 3 解析 分析 根据偶函数定义 可得 f 2 f 2 代入解析式即可求解 根据偶函数定义 可得 f x f x 代入即可求得 x 3 时的解析式 3 由偶函数可得函数在 5 5 上的最大值即为它在区间 0 5 上的最大值 对 a 分类讨 论 讨论在对称轴两侧的单调情况及最值即可 详解 1 已知 y f x 是偶函数 故 f 2 f 2 2
15、 3 2 2 2 当 x 3 时 f x f x x 3 a x x 3 a x 所以 当 x 3 时 f x 的解析式为 f x x 3 a x 3 因为 f x 是偶函数 所以它在区间 5 5 上的最大值即为它在区间 0 5 上的最大 11 值 当 a 3 时 f x 在上单调递增 在上单调递减 所以 当 3 a 7 时 f x 在与上单调递增 在与上单调递减 所以此时只需比较与的大小 A 当 3 a 6 时 所以 B 当 6 a 7 时 所以 g a 当 a 7 时 f x 在与 3 5 上单调递增 在上单调递减 且 f 5 2 a 5 所以 g a f 5 2 a 5 综上所述 g a
16、 点睛 本题考查了分段函数的求值及综合应用 二次函数的最值与单调情况的综合应用 属于难题 20 已知幂函数 满足 求函数的解析式 若函数 是否存在实数 使得的最小值为 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 若函数 是否存在实数 使函数在上的值域为 若 存在 求出实数 的取值范围 若不存在 说明理由 答案 解析 试题分析 1 根据幂函数是幂函数 可得 求解 的值 即可得到函数的解 析式 2 由函数 利用换元法转化为二次函数问题 求解其最小值 即 12 可求解实数 的取值范围 3 由函数 求解的解析式 判断其单调性 根据在上的值域为 转化为方程有解问题 即可求解 的取值范围 试题解析 为幂函数 或 当时 在上单调递减 故不符合题意 当时 在上单调递增 故 符合题意 令 当时 时 有最小值 当时 时 有最小值 舍 当时 时 有最小值 舍 综上 易知在定义域上单调递减 即 令 则 13 点睛 本题主要考查了幂函数的解析式 函数最值的求解 方程与不等式的性质等知识点的 综合应用 其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键 试题综合性强 属于难题 考查学生的阅读理解能力 接受新思维的能力 考查
