《江苏省南通市2019届高三数学第一次模拟考试试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市2019届高三数学第一次模拟考试试题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 20192019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数数 学学 满分 160 分 考试时间 120 分钟 参考公式 柱体的体积公式 V柱体 Sh 其中S为柱体的底面积 h为高 一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题 5 5 分 共计 7070 分 1 1 已知集合 A 1 3 B 0 1 则集合 A B 2 2 已知复数 z 3i i为虚数单位 则复数 z 的模为 2i 1 i 3 3 某中学组织学生参加社会实践活动 高二 1 班 50 名学生参加活动的次数统计如下 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 4 4 如图是一个算法流
2、程图 则输出的 b 的值为 5 5 有数学 物理 化学三个兴趣小组 甲 乙两位同学各随机参 加一个 则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 6 6 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm 侧面的对角线长是 3cm 则5 这个正四棱柱的体积为 cm3 7 7 若实数 x y 满足 x y 2x 3 则 x y 的最小值为 8 8 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y2 2px p 0 的准线为 l 直线 l 与双曲线x 2 4 y2 1 的两条渐近线分别交于 A B 两点 AB 则 p 的值为 6 9 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知直线 y 3x t 与曲线 y asin x bcos
3、 x a b t R R 相切于点 0 1 则 a b t的值为 10 10 已知数列 an 是等比数列 有下列四个命题 数列 an 是等比数列 数列 anan 1 是等比数列 数列是等比数列 数列 lg a 是等比数列 1 an 2 n 其中正确的命题有 个 11 11 已知函数 f x 是定义在 R R 上的奇函数 且f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x3 ax 1 则实数a的值为 12 12 在平面四边形 ABCD 中 AB 1 DA DB 3 2 则 2 的最AB AC AC AD AC AD 小值为 13 13 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 O x2 y2 1 圆
4、C x 4 2 y2 4 若存在过点 P m 0 的直线 l 直线 l 被两圆截得的弦长相等 则实数 m 的取值范围是 14 14 已知函数 f x 2x a x a x 2a ab 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 上 x2 a2 y2 b2 顶点为 B 1 已知椭圆的离心率为 线段 AF 中点的横坐标为 求椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 已知 ABF 的外接圆的圆心在直线 y x 上 求椭圆的离心率 e 的值 18 本小题满分 16 分 如图 1 一艺术拱门由两部分组成 下部为矩形 ABCD AB AD 的长分别为 2 m和 4 m 3 上部是圆心为 O 的劣弧 CD COD 2 3
5、1 求图 1 中拱门最高点到地面的距离 2 现欲以点 B 为支点将拱门放倒 放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直 如图 2 图 3 图 4 所示 设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 记拱门上的点到地面的最大距 离为 h 试用 的函数表示 h 并求出 h 的最大值 4 19 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x ln x a R R a x 1 讨论函数f x 的单调性 2 设函数f x 的导函数为f x 若函数f x 有两个不相同的零点x1 x2 求实数a的取值范围 证明 x1f x1 x2f x2 2ln a 2 20 本小题满分 16 分 已知等差数列 an 满足
6、 a4 4 前 8 项和 S8 36 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bka2n 1 2k 2an 3 2n 1 n N N n k 1 证明 bn 为等比数列 求集合 m p am bm 3ap bp m p N N 5 20192019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学附加题数学附加题 本部分满分 40 分 考试时间 30 分钟 21 21 选做题 本题包括A A B B C C三小题 请选定其中两小题 并作答 若多做 则按作 答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵
7、M M N N 且 MNMN 1 求矩阵M M ab cd 10 0 1 2 1 4 0 02 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程是 t为参数 以原点O为极点 x x t y t2 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程是 sin 求 4 2 1 直线l的直角坐标方程 2 直线l被曲线C截得的线段长 C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知实数a b c满足a2 b2 c2 1 求证 1 a2 1 1 b2 1 1 c2 1 6 必做题 第 2222 题 第 2323 题 每小题 1010 分 共计 2020
8、 分 解答时应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 22 22 本小题满分 10 分 回文数 是指从左到右与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3 553 等 显然 2 位 回文数 共 9 个 11 22 33 99 现从 9 个不同的 2 位 回文数 中任取 1 个乘以 4 其结果记为 X 从 9 个不同的 2 位 回文数 中任取 2 个相加 其结果记为 Y 1 求 X 为 回文数 的概率 2 设随机变量 表示 X Y 两数中 回文数 的个数 求 的概率分布和数学期望 E 23 本小题满分 10 分 设集合 B 是集合 An 1 2 3 3n 2 3n 1 3n n N N 的子集 记
9、集合B中所有 元素的和为S 规定 集合B为空集时 S 0 若S为 3 的整数倍 则称B为An的 和谐子集 求 1 集合A1的 和谐子集 的个数 2 集合An的 和谐子集 的个数 20192019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 南通南通 7 数学参考答案数学参考答案 1 1 0 1 3 2 2 3 3 3 4 4 7 5 5 6 6 54 5 2 3 7 7 6 8 8 2 9 9 4 10 10 3 11 11 2 12 12 2 65 13 13 14 14 337 4 4 3 15 15 1 在四棱锥 PABCD 中 M N 分别为棱 PA PD 的中点 所以 MN A
10、D 2 分 又底面 ABCD 是矩形 所以 BC AD 所以 MN BC 4 分 又 BC 平面 PBC MN 平面 PBC 所以 MN 平面 PBC 6 分 2 因为底面 ABCD 是矩形 所以 AB AD 又侧面 PAD 底面 ABCD 侧面 PAD 底面 ABCD AD AB 底面 ABCD 所以 AB 侧面 PAD 8 分 又 MD 侧面 PAD 所以 AB MD 10 分 因为 DA DP 又 M 为 AP 的中点 从而 MD PA 12 分 又 PA AB 在平面 PAB 内 PA AB A 所以 MD 平面 PAB 14 分 16 16 1 在 ABC 中 因为cosA 0 A
11、3 3 所以sinA 2 分 1 cos2A 6 3 因为 acosB bcosA 2 由正弦定理 得sinAcosB sinBcosA a sinA b sinB 2 所以cosB sinB 4 分 若cosB 0 则sinB 0 与sin2B cos2B 1 矛盾 故cosB 0 于是tanB 1 sinB cosB 又因为 0 Bb 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 1 2 所以 则 a 2c c a 1 2 因为线段 AF 中点的横坐标为 2 2 所以 a c 2 2 2 所以 c 则 a2 8 b2 a2 c2 6 2 所以椭圆的标准方程为 1 4 分 x2 8 y2 6 2
12、因为点 A a 0 点 F c 0 所以线段 AF 的中垂线方程为 x a c 2 又因为 ABF 的外接圆的圆心 C 在直线 y x 上 所以点 C 6 分 a c 2 a c 2 因为点 A a 0 点 B 0 b 所以线段 AB 的中垂线方程为 y b 2 a b x a 2 由点 C 在线段 AB 的中垂线上 得 a c 2 b 2 a b a c 2 a 2 整理得 b a c b2 ac 10 分 即 b c a b 0 因为 a b 0 所以 b c 12 分 所以椭圆的离心率 e 14 分 c a c b2 c2 2 2 18 18 1 如图 1 过点 O 作与地面垂直的直线交
13、 AB CD 于点 O1 O2 交劣弧 CD 于点 P O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离 在Rt O2OC 中 O2OC CO2 3 3 所以 OO2 1 圆的半径 R OC 2 所以 O1P R OO1 R O1O2 OO2 5 故拱门最高点到地面的距离为 5m 4 分 2 在拱门放倒过程中 过点 O 作与地面垂直的直线与 拱门外框上沿 相交于点 P 9 当点 P 在劣弧 CD 上时 拱门上的点到地面的最大距离 h 等于圆 O 的半径长与圆心 O 到地 面距离之和 当点 P 在线段 AD 上时 拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离 由 1 知 在Rt OO1B 中
14、OB 2 OO O1B23 以 B 为坐标原点 地面所在的直线为 x 轴 建立如图 2 所示的坐标系 当点 P 在劣弧 CD 上时 6 2 由 OBx OB 2 6 3 由三角函数定义 得点 O 2 3 cos 6 2 3sin 6 则 h 2 2sin 8 分 3 6 所以当 即 时 h 取得最大值 2 2 10 分 6 2 3 3 如图 3 当点 P 在线段 AD 上时 0 6 设 CBD 在Rt BCD 中 DB 2 BC2 CD27 sin cos 2 3 2 7 21 7 4 2 7 2 7 7 由 DBx 得点 D 2cos 2sin 77 所以 h 2sin 4sin 2cos
15、14 分 73 又当 0 4cos 2sin 0 6 3 6 3 6 3 所以 h 4sin 2cos 在上递增 3 0 6 所以当 时 h 取得最大值 5 6 因为 2 2 5 所以 h 的最大值为 2 2 33 故 h 4sin 2 3cos 0 6 2 2 3sin 6 6 0 成立 所以函数 f x 在 0 为增函数 2 分 当 a 0 时 当 x a 时 f x 0 所以函数 f x 在 a 上为增函数 当 0 x a 时 f x 0 时 f x 的最小值为 f a 依题意知 f a 1 lna 0 解得 0 aa f 1 a 0 函数 f x 在 a 为增函数 且函数 f x 的图
16、象在 a 1 上不间断 所以函数 f x 在 a 上有唯一的一个零点 另一方面 因为 0 a 所以 0 a2 a 1 e 1 e f a2 lna2 2lna 令 g a 2lna 1 a 1 a 1 a 当 0 a 时 g a g e 2 0 1 a 1 e 11 又 f a a2 不妨设 x1 x2 由 知 0 x1 aa2 即证 x1 a2 x2 因为 x1 0 a 函数 f x 在 0 a 上为减函数 a2 x2 所以只要证 f f x1 a2 x2 又 f x1 f x2 0 即证 f f x2 14 分 a2 x2 设函数 F x f f x 2lnx 2lna x a a2 x x a a x 所以 F x 0 x a 2 ax2 所以函数 F x 在 a 上为增函数 所以 F x2 F a 0 所以 f f x2 成立 a2 x2 从而 x1x2 a2成立 所以 p 2 ln x1x2 2lna 2 即 x1f x1 x2f x2 2lna 2 成立 16 分 20 20 1 设等差数列 an 的公差为 d 因为等差数列 an 满足 a4 4 前 8 项和 S8 36
