《江苏省南通市海安高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题201904080334》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市海安高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题201904080334（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2018 20192018 2019 学年度第一学期期中考试学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷高二年级数学试卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 集合 则中元素的个数为 2 已知是等差数列 是其前项和 若 10 则的值是 3 若不等式的解集为 则的值为 4 曲线在点处的切线方程为 写出斜截式方程 5 已知向量a a b b满足 则a a b b 6 若 则 7 已知实数满足不等式组 则的最大值为 8 已知椭圆的焦点在轴上 且焦距为 4 则m 9 在数列中 是其前项和 则的值是 10 平面上三条直线x 2y
2、 1 0 x 1 0 x ky 0 如果这三条直线将平面划分为六个部分 则实数k的取值组成的集合 A 11 若直线 过点 则的最小值为 12 已 知 点 P在 椭 圆上 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 若 且的三条边长成等差数列 则椭圆的离心率e 13 直线 与直线相交于点M 则长度的最小值为 2 14 定义 点 到直线的有向距离为已知点 直线m过点 若圆上存在一点 使得三点 到直线m的有向距离之和为 0 则直线m斜率的取值范围是 二二 解答题解答题 本本大题共大题共 6 6 小题小题 共共 9090 分分 请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明解答时应写出文字
3、说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥中 底面是正方形 平面 且 点为线段的中点 1 求证 平面 2 求证 平面 16 本小题满分 14 分 如图 是单位圆O上的点 C D分别是圆O与x轴的两交点 为正三角形 1 若点坐标为 求的值 2 若 四边形CABD的周长为y 试将y表示成x的函数 并求出 y的最大值 3 17 本小题满分 14 分 已知函数 其中R R 1 当时 求函数在上的值域 2 若函数在上的最小值为 3 求实数k的取值范围 18 本小题满分 16 分 某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M 过点M且与OM成 即北偏西 的直
4、线l在在此处的一段为领海与公海的分界线 如图所示 在码头O北偏东方向 领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船 可疑船 停留 基地指挥部决定在测定可疑船 的行驶方向后 海警巡逻艇从O处即刻出发 按计算确定方向以可疑船速度的 2 倍航速前 去拦截 假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速 将在P处恰好截获可疑船 1 如果O和A相距 6 海里 求可疑船被截获处的点P的轨迹 2 若要确保在领海内捕获可疑船 即P不能在公海上 则 之间的最大距离是多 少海里 4 19 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C 的离心率为 且过点 过椭圆的左顶点A作直线轴 点M为直线 上异于点A的动点
5、 点B为椭 圆右顶点 直线BM交椭圆C于P 1 求椭圆C的方程 2 求证 3 试问是否为定值 若是定值 请求出该定值 若不是定 值 请说明理由 20 本小题满分 16 分 已知常数 0 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn 满足 a1 1 1 若 0 求数列 an 的通项公式 2 若对一切恒成立 求实数 的取值范围 5 2018 2019 学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷答案 一 填空题 1 已知集合 集合 则中元素的个数为 22 4Axy xy Bxyyx AB 答案 2 2 已知是等差数列 是其前项和 若 10 则的值是 n a n Sn 5 S 9 20a 1 a 答案
6、4 3 若不等式的解集为 则的值为 答案 3 2 20 xpx 1 2 p 4 曲线在点处的切线方程为 写出斜截式方程 lnyx 1 0 答案 1yx 5 已知向量a a b b满足 则a a b b 答案 1 1 a 23 aab 6 若 则 答案 1 tan 46 tan 7 5 7 已知实数满足不等式组 则的最大值为 xy 0 40 y yx xy 2zxy 答案 8 8 已知椭圆的焦点轴上 且焦距为 4 则m 答案 13 2 2 1 220 y x mm x 9 在数列中 是其前项和 则的值是 n a 1 2a 1 2 nn aa n Sn 6 S 答案 126 10 平面上三条直线x
7、 2y 1 0 x 1 0 x ky 0 如果这三条直线将平面划分为六个部分 则实数k的取值组成的集合 A 答案 1 0 2 11 若直线过点 则的最小值为 100 y x ab ab 2 2 41ab 答案 19 12 已 知P在 椭 圆上 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 2 2 22 10 y x ab ab 12 FF 且的三条边长成等差数列 则椭圆的离心率e 12 0OPOFOPOF 12 FPF 6 答案 5 7 13 直线与直线相交于点M 则长度的最小值为 210kxyk 320 xkyk OM 答案 2 21 14 定义 点到直线的有向距离为已知点 00 M xy 0l axby
8、c 00 22 axbyc ab 2 0A 直线m过点 若圆上存在一点 使得三点 2 0B 4 0P 2 2 635xy CABC 到直线m的有向距离之和为 0 则直线m斜率的取值范围是 答案 4 0 3 二 解答题 15 如图 在四棱锥中 底面是正方形 平面 且 PABCD ABCDPA ABCDPAAD 点为线段的中点 EPD 1 求证 平面 PBAEC 2 求证 平面 AE PCD 1 证明 连结 交于点 连结 BDACOOE 因为是正方形对角线交点 OABCD 所以为中点 OBD 由已知为线段的中点 所以 EPD PBOE 又 所以平面 OEACE 平面PBACE 平面 PBAEC 2
9、 证明 因为 为线段的中点 所以 PAAD EPDAEPD 因为平面 所以 PA ABCDPACD 在正方形中 又 ABCDCDAD PAADA 所以平面 又 CD PADAEPAD 平面 所以 又 所以平面 CDAE PDCDD AE PCD 16 如图 是单位圆O上的点 C D分别是圆O与x轴的两交点 为正三角形 AB AOB 1 若点坐标为 求的值 A 3 4 5 5 cosBOC D CB A P E OC B D y x A 7 2 若 四边形CABD的周长为y 2 0 3 AOCxx 试将y表示成x的函数 并求出y的最大值 解 1 334 3134 coscos 60 252510
10、 BOCx 2 332sin2sin32sin3cossin 232222 xxxxx yACBD 3sin3cos32sin 2223 xxx 又因为 所以 所以 2 0 3 x 2 2333 x 3 sin1 232 x 所以当时 3 x max 5y 17 已知函数 其中R R 323 131 2 f xxkxkx k 1 当时 求函数在上的值域 3k f x 0 5 2 若函数在上的最小值为 3 求实数k的取值范围 f x 1 2 解 1 当时 3k 32 691f xxxx 2 3129313fxxxxx 令得 列表 0fx 12 13xx x0 01 1 13 3 35 5 fx
11、0 0 f x 1 递增 极大值 5 递减 极小值 1 递增 21 由上表知 函数的值域为 f x 121 2 2 331331fxxkxkxxk 当 时 函数在区间单调递增 1k 12x 0fx f x 12 所以 即 舍 min 3 111313 2 f xfkk 5 3 k 当 时 函数在区间单调递减 2k 12x 0fx f x 12 8 所以 符合题意 min 28613213f xfkk 当 时 12k 当时 在区间单调递减 1xk 0fx f x 1k 当时 区间在单调递增 2xk 0fx f x 2k 所以 不符合题意 min 23f xf kf 综上所述 实数取值范围为 k2
12、k 18 某海警基地码头O的正东方向 40 海里处有海礁界碑 M 过点M且与OM成 即北偏西30 的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线 如图所示 在码头O北偏东方60 60 向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船 可疑船 停留 基地指挥部决定在测定可疑船 的行驶方向后 海警巡逻艇从O处即刻出发 按计算确定方向以可疑船速度的 2 倍航速前去 拦截 假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速 将在P处恰好截获可疑船 1 如果O和A相距 6 海里 求可疑船被截获处的点P的轨迹 2 若要确保在领海内捕获可疑船 即P不能在公海上 则 之间的最大距离是多少OA 海里 18 解 1 以O为原点 O
13、M为x轴建立如图坐标系 设可疑船能被截获的点为P x y 由题意得OP 2AP OA 6 海里 AOx 点A的坐标 3 3 906030 3 则有 2 x2 y2 x 3 r 3 2 y 3 2 化简得 x 4 2 y 4 2 16 轨迹是以 4 4 为圆心 4 为半径的圆 33 2 设点A的坐标 t t t 0 可疑船被截获处的点为P x y 3 由题意得OP 2AP 60 l 公海 东 O N M O A N 9 即有 2 化简得 x 2 y 2 x2 y2 x r 3 t 2 y t 2 43t 3 4t 3 16t2 9 因为M 40 0 l的倾斜角 18030150 因此直线方程为l
14、 x y 40 0 3 由题意 点A在领海内 因此t t 40 0 即 0 t 33 203 3 P的轨迹与直线没有公共点 则轨迹圆心到分界线距离 4 3t 3 4 3t 3 40 2 4t 3 即 5 解之得 t 不合 舍去 或 0 t 3t 3 t 3 15 r 3 1 2 15 r 3 1 2 又因为OA 2t 因此OA的最大距离为 15 1 海里 3 19 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C 的离心率为 且过点 2 2 22 10 y x ab ab 2 2 过椭圆的左顶点A作直线轴 点M为直线 6 1 2 lx l 上的动点 点B为椭圆右顶点 直线BM交椭圆C于P 1 求椭圆C的方
15、程 2 求证 APOM 3 试问是否为定值 若是定值 请求出该定 OP OM 值 若不是定值 请说明理由 18 解 1 因为C 的离心率为 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 所以 则 又椭圆C过点 22 2ac 22 2ab 6 1 2 所以 22 13 1 2ab 所以 2 4a 2 2b 则椭圆C的方程 22 1 42 xy 2 设直线BM的斜率为k 则直线BM的方程为 设 2 yk x 11 P x y l O B P M y xA 10 将代入椭圆C的方程中并化简得 2 yk x 22 1 42 xy 2222 21 4840kxk xk 解之得 2 1 2 42 21 k
16、 x k 2 2x 所以 从而 11 2 4 2 21 k yk x k 2 22 424 21 21 kk P kk 令 得 所以 2x 4yk 2 4 Mk 2 4 OMk 又 2 22 424 2 2121 kk AP kk 2 22 84 21 21 kk kk 所以 22 22 1616 0 2121 kk AP OM kk 所以 APOM 3 2 22 424 2 4 21 21 kk OP OMk kk 222 22 841684 4 2121 kkk kk 所以为定值 4 OP OM 20 本小题满分 16 分 已知常数 0 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn 满足 a1 1 1 11 31 nn nnn n a SSa a n N 1 若 0 求数列 an 的通项公式 2 若对一切恒成立 求实数 的取值范围 1 1 2 nn aa n N 解 1 时 0 1 11 n nnn n a SSa a 所以因为 所以 1 n nn n a SS a 0 n a 0 n S 所以 因为 所以 1nn aa 1 1a 1 n a 2 因为 1 11 31 nn nnn
