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1、1 湖南省六校湖南省六校 20192019 届高三数学届高三数学 4 4 月联考试题月联考试题 文文 考生注意 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 时量 120 分钟 满分 150 分 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 作答选择题 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 作答非选择题时 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 3 考试结束时 监考员将题卷 答题卡一并收回 第 卷 一 选择
2、题 本大题共 1212 小题 每小题 5 5 分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 U A B 则下列结论正确的是 1 2 3 4 5 2 3 4 3 5 A B A B UA 1 5 C A B D A B 3 2 4 5 2 已知i为虚数单位 z 1 i 3 i 则在复平面上复数 z 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌 从黄 白 蓝 红 4 种颜色中任意挑选 2 种 颜色 则所选颜色中含有白色的概率是 A B C D 1 6 1 4 1 2 2 3 4 下列判断正确的
3、是 A 命题 若 x2 1 则 x 1 的否命题为 若 x2 1 则 x 1 B 45 是 tan 1 的充分不必要条件 C 若命题 p q 为假命题 则命题 p q 都是假命题 D 命题 x R R 2x 0 的否定是 x0 R R 2x0 0 5 已知公差d 0 的等差数列满足a1 1 且a2 a4 2 a6成等比数列 若正整 an 数m n满足m n 10 则am an A 30 B 20 C 10 D 5 或 40 6 秦九韶是我国南宋时期的数学家 他在所著 数书九章 中提出的求多项式值的秦九 韶算法 至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图 是利用秦九韶算法求一个多项式 的值 若输
4、入n x的值分别为 3 则输出v的值为 3 2 A 7 B 10 C 11 5 D 17 2 7 已知实数x y满足则z 2x y的最小值为 x y 1 0 x y 1 0 x 2y 0 A 1 B 5 C 2 D 0 8 函数f x 的部分图象大致是 ex e x cos x x2 9 将函数f x sin 2x cos 2x的图象向右平移 再把所有点的横坐标伸长到原来3 6 的 2 倍 纵坐标长度不变 得到函数g x 的图象 则下列说法正确的是 A 函数g x 的最大值为 1 3 B 函数g x 的最小正周期为 C 函数g x 的图象关于直线x 对称 3 D 函数g x 在区间上单调递增
5、6 2 3 10 已知直线y kx 1 与抛物线x2 8y相切 则双曲线 x2 k2y2 1 的离心率等于 A B C D 235 3 2 11 如图 平面四边形ABCD中 E F是AD BD中点 AB AD CD 2 BD 2 BDC2 90 将 ABD沿对角线BD折起至 A BD 使平面A BD 平面BCD 则四面体A BCD中 下列结论不正确的是 A EF 平面A BC B 异面直线CD与A B所成的角为 90 C 异面直线EF与A C所成的角为 60 D 直线A C与平面BCD所成的角为 30 12 已知函数f x ln x a在x 1 e 上有两个零点 则a的取值范围是 a x A
6、B C D e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 1 e 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知平面向量a a与b b的夹角为 45 a a 1 1 b b 1 则 a a 2b b 14 已知点A 2 0 B 0 4 O为坐标原点 则 AOB外接圆的标准方程是 15 已知数列 an 的前n项和Sn 2an 1 n N N 设bn 1 log2an 则数列的 1 bnbn 1 前n项和Tn 16 已知四棱锥S ABCD的三视图如图所示 若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上 则球O的表面积等于 3 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明
7、证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 且 sin Asin Bcos B sin2Bcos A 2sin Ccos B 2 1 求 tan B的值 2 若b 2 ABC的面积为 求a c的值 2 18 本小题满分 12 分 如图 ABCD是边长为 2 的菱形 DAB 60 EB 平面ABCD FD 平面ABCD EB 2FD 4 1 求证 EF AC 2 求几何体EFABCD的体积 4 19 本小题满分 1
8、2 分 有一个同学家开了一个小卖部 他为了研究气温对热饮饮料销售的影响 经过统计 得 到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表 摄氏温度 5 4 7 10 15 23 30 36 热饮杯数 162 128 115 135 89 71 63 37 1 从散点图可以发现 各点散布在从左上角到右下角的区域里 因此 气温与当天热饮 销售杯数之间成负相关 即气温越高 当天卖出去的热饮杯数越少 统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱 统计学认为 对于变量x y 如果r 1 0 75 那 么 负 相 关 很 强 如 果r 0 75 1 那 么 正 相 关 很 强 如 果r 0 75 0
9、 30 0 30 0 75 那么相关性一般 如果r 0 25 0 25 那么相关性较弱 请根 据已知数据 判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱 2 请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程 记 x 为不超过x的最大整数 如 1 5 1 4 9 5 对于 中求出的线性 回归方程y x 将y x 视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系 已知气温xb a b a 与当天热饮每杯的销售利润f x 的关系是f x 2 3 x 7 38 单位 元 请 x 7 15 问当气温x为多少时 当天的热饮销售利润总额最大 参考公式 Error r Error 2 1340 Error 100 362
10、1296 372 1369 b 5 20 本小题满分 12 分 如图 椭圆 C 1 的右焦点为 F 过点 F 的直线 l 与椭圆交于 A B 两点 直线 x2 4 y2 3 n x 4 与 x 轴相交于点 E 点 M 在直线 n 上 且满足 BM x 轴 1 当直线 l 与 x 轴垂直时 求直线 AM 的方程 2 证明 直线 AM 经过线段 EF 的中点 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x ex g x ax2 x 1 a 0 1 设 F x 讨论函数 F x 的单调性 g x f x 2 若 0g x 在 0 上恒成立 1 2 二 选考题 共 10 分 请考生在 22 23 两题中
11、任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 两种坐标 系中取相同的长度单位 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标 x 3 t y 1 3t 方程为 4sin 3 1 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 2 若直线 l 与曲线 C 交于 M N 两点 求 MON 的面积 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x 1 2 x a 1 设 a 1 求不等式 f x 7 的解集 2 已知 a 1
12、且 f x 的最小值等于 3 求实数 a 的值 6 湖南省 2019 届高三六校联考试题 数学 文科 参考答案 命题学校 湘潭市一中 长沙市一中 一 选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D C D A C A B D B C A 1 B 解析 由题知集合A与集合B互相没有包含关系 且A B 3 A B 2 3 4 5 UA 1 5 故选 B 2 D 解析 由题知z 1 2i 位于第四象限 故选 D 3 i 1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 3 C 解析 从黄 白 蓝 红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有 黄白 黄蓝 黄红 白蓝
13、白红 蓝红 共 6 种 其中包含白色的有 3 种 选中白色的 概率为 故选 C 1 2 4 D 解析 由否命题的概念知 A 错 关于 B 选项 前者应是后者的既不充分也不必 要条件 关于 C 选项 p与q至少有一个为假命题 D 选项正确 5 A 解析 由题知 a4 2 2 a2a6 因为 an 为等差数列 所以 3d 1 2 1 d 1 5d 因为d 0 解得d 3 从而am an m n d 30 故选 A 6 C 解析 将n 3 x 代入程序框图 可得最后输出v 11 5 故选 C 3 2 7 A 解析 由题中给出的三个约束条件 可得可行域为如图所示阴影部分 易知在 0 1 处目标函数取到
14、最小值 最小值为 1 故选 A 8 B 解析 由题知 f x 的定义域为 0 0 且f x f x 所以f x 是奇函数 排除 C 和 D 将x 代入f x 得f 0 故选 B 9 D 解析 化简得f x 2sin 所以g x 2sin 由三角函数性质 2x 6 x 6 知 g x 的最大值为 2 最小正周期为 2 对称轴为x k k Z Z 单调增区间为 2 3 k Z Z 故选 D 3 2k 2 3 2k 10 B 解析 由得x2 8kx 8 0 因为直线与曲线相切 所以 64k2 y kx 1 x2 8y 32 0 k2 所以双曲线为x2 1 离心率等于 故选 B 1 2 y2 2 3
15、11 C 解析 A 选项 因为E F分别为A D和BD两边中点 所以EF A B 即EF 平面A BC A 正确 B 选项 因为平面A BD 平面BCD 交线为BD 且CD BD 所以CD 平面A BD 即CD A B 故 B 正确 C 选项 取CD边中点M 连接EM FM 则EM A C 所以 FEM为异面直线EF与A C所成角 又EF 1 EM FM 即 FEM 90 故23 C 错误 选 C 12 A 解析 f x x 1 e 1 x a x2 x a x2 当a 1 时 f x 0 f x 在 1 e 上单调递增 不合题意 当a e 时 f x 0 f x 在 1 e 上单调递减 也不
16、合题意 7 当 e a 1 时 则x 1 a 时 f x 0 f x 在 a e 上单调递增 又f 1 0 所以f x 在x 1 e 上有两个 零点 只需f e 1 a 0 即可 解得 a 1 a e e 1 e 综上 a的取值范围是 e 1 e 1 二 填空题 13 解析 由题知 a a 2b b 2a a2 4a a b b 4b b22 14 x 1 2 y 2 2 5 解析 由题知OA OB 故 ABO外接圆的圆心为AB的中 点 1 2 半径为 AB 所以 ABO外接圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 5 1 2 5 15 解析 令n 1 a1 1 n 2 时 an Sn Sn 1 2an 2an 1 an 2an 1 n n 1 所以an 2n 1 bn 1 log22n 1 n Tn 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 n n 1 16 解析 由该四棱锥的三视图知 该四棱锥直观图如图 平面SAB 平面 101 5 ABCD 可得R2 r r 其中r1为 SAB外接圆半径 r2为矩形ABCD外接圆半径 L 2 12 2 L2 4 AB 计算得 R2 5 4 81 20
