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1、 5-1-3-1.数阵图教学目标1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填
2、数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用例题精讲模块一、封闭型数阵图【例 1】 把18的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】【答案】【例 2】 将18这八个自然数分别填入下图中的八个内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1）
3、 c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5.a，c，e，g可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1， 4，7，8中，不行. 若c=1，则a=14-（1+2）=11，
4、不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分【解析】 设三个顶点为D,E,F，求D,E,F。观察容易发现，三条边的和为36，即D+A+E+E+C+F+F+B+D=36 18+2( D+E+F)=36，所以D+E+F=9
5、【答案】【例 4】 将至这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等那么，每条边上的数字和是 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为，由于最小为，最大为，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为17和20时的填法而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下如果每条边上的数字和为18，那么，而，即，得到，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18如果每条边上的数字和为19，类似分析可得到，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19所
6、以每条边上的数字和为17或20【答案】17或20【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么和两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是_【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题【解析】 方法一：如图用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为，那么，所以，而，所以，那么是3的倍数.如果，得；如果，得，这两种情况下和的差都为4，所以和两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.方法二：设各条直线上的三个数之和都为，即，所以，由于，即，因此有,综合有，所以和两个圆圈
7、中所填的数之差(大数减小数)是4.【答案】4【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是_。【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A、B各多算了一次，故A+B=9。【答案】【例 7】 把211这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个的正方形中的4个数之和相等那么，这个和数的最小值是多少？【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第一步：首先确定数
8、阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；第二步：计算三个正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24【答案】24【例 8】 下图中有五个正方形和个圆圈，将填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等那么这个和是多少?【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设每个正方形四角上圆
9、圈中的数字之和为，则由个正方形四角的数字之和，相当于将112相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：，解得，即这个和为26具体填法如右上图。【答案】26【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由 【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 不能如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设
10、它们都等于考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是，在它们的和中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即得到，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能都相等由于三角形3个顶点上的数字之和最小为，最大为，可能为6、8、10、22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是
11、一种填法【答案】【例 10】 将116分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，化简得：a+c=10 4+6=10. e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13， f+h=15 2+13=15，3+12=15. a，b，c，d，e，f，g，h应分别从1，2，3
12、，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10，所以只能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3+16；f+h=15，只能选f+h=2+13若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e、f无值可取，使其和为27.若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2.若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13.解：共有三个解（见图）.【答案】【例 11】 一个33的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这
13、样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋子数。具体操作如图：【答案】【例 12】 如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是 【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 根据题目给的数字计算所有的数字和为：，分成四块的，每块的数字和为：，所以，具体分法如上图。【答案】
14、模块二、辐射型数阵图【例 13】 把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是_。【考点】辐射型数阵图 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题【解析】 由题意，横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余的四个数可以分为和相等的两组。所以中间方格中能填的数为：，。【答案】中间方格能填的数可以为：，答案不唯一【例 14】 请你把17这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？【考点】辐射型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2），设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k 3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g）=
