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1、任意四边形、梯形与相似模型例题精讲板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 1】 如图，已知在平行四
2、边形中，那么的长度是多少？【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以【答案】8【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 有一个金字塔模型，所以，所以厘米【答案】10【例 3】 如图，平行，若，那么_【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据金字塔模型，设份，则份，份，所以【答案】【例 4】 如图， 中，互相平行，则 【考点】相似三
3、角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，因此份，份，进而有份，份，所以【答案】【巩固】如图，平行，且，求的长【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由金字塔模型得，所以【答案】10【巩固】如图， 中，互相平行，则 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设份，因此份，进而有份，同理有份，份，份所以有【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列【答案】【例 5】 已知中，平行，若，且比大，求【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据金字塔模型，设份，
4、则份，份，比大份，恰好是，所以【答案】12.5【例 6】 如图：平行， ，求的长度【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有：，因为，所以【答案】2【巩固】如图，已知平行，那么_【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得【答案】【例 7】 如图，中，与平行，的面积是1平方厘米那么的面积是 平方厘米【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为，与平行，根据相似模型可知，平方厘米，则平方厘米，又因为，所以(平方厘米)【答案】【例 8】 如下图，正方形ABCD边长为l0厘米
5、，BO长8厘米。AE=_厘米。【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分【解析】 AOB与EDA相似，对应边成比例。AB：BOAE：AD，AEABADBO1010812.5(厘米)。【答案】12.5【例 9】 如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是（ ）平方厘米。A、24 B、36 C、48 D、60【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛【解析】【答案】【例 10】 在图中的正方形中，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？
6、 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接，易知，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍【答案】3【例 11】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)【答案】【例 12】 如图，线段与垂直，已知，那么图中阴影部分
7、面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看作辅助线，则图形关于对称，有，且 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为解法二：连接、由于，所以，根据相似三角形性质，可知，根据梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以【答案】15【例 13】 如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，则四边形的面积_【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，精英邀请赛【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形，那么，
8、所以又，所以，根据沙漏模型，所以【答案】3【例 14】 已知三角形的面积为，是的中点，且，交于，求阴影部分的面积 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 已知，且，利用相似三角形性质可知，所以，且又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，所以，可得，所以，那么【答案】【例 15】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，求正方形的边长【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得【答案】6【例 16】 如图，三角
9、形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，设正方形的边长为毫米，即，解得，即正方形的边长为毫米【答案】48【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，厘米，厘米，求长方形的长和宽【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，所以有，设，则，所以有，解得，因此长方形的长和宽分
10、别是厘米，厘米【答案】长，宽【例 17】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题做垂直于，交于因为，所以三角形与三角形相似，且相似比为，所以，又因为，所以，所以三角形的面积为【答案】108【例 18】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据相似三角形的
11、对应边成比例有：；，则， 【答案】【例 19】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】101中学【解析】 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以若，则，不合题意，所以只能为6或7检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米根据相似三角形性质，而，得(厘米)，所以阴影部分的面积为：(平方厘米)【答案】10.8【例 20】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【考点】相似三角形模型
12、【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为【答案】【例 21】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以，相当于把分成()份，同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，由此可以推出：, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形
13、中占份，则面积为：(平方厘米).【答案】3【例 22】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质设、分别为、的中点，连接、可得，对角线被、平均分成四段，又，所以，所以 (平方厘米)，(平方厘米)同理可得平方厘米，平方厘米所以 (平方厘米)，于是，阴影部分的面积为(平方厘米)方法二：寻找图中的沙漏，因此为的三等分点，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)【答案】48【例 23】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线取的中点，连接，设交于则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)【答
