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1、7年级数学上册（人教版）试题、练习及答案初中数学竞赛精品标准教程及练习（19）因式分解一、内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2
2、 （a+b）3+c33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例2因式分解：x311x+20a5+a+1 分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x311x+20x316x+5x+20x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x24x+5) 分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a
3、2(a1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理：若x=a时，f(x)=0, 即f(a)=0，则多项式f(x)有一次因式xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时，x35x2+9x60，原式有一次因式x 2，x35x2+9x6（x 2）（x23x+3,）分析：用最高次项的系数2的约数1，2分别去除常数项3的约数1，3得商1，2，再分别以这些商代入
4、原式求值，可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：x=时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，设2x313x2+3（2x1）（x2+ax3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1）（x26x3）。例4因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项 的系数，得解得2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2
5、+(3y+14)x(9y2+3y20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4）nx+（3y+5）比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)三、练习191 分解因式：x4+x2y2+y4 x4+4 x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x29 x341x+30 x3+5x218 x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3 x33x2+3x+7x39ax2+27a2x26a3 x3+6x2+11
6、x+6a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21 x44x+3 2x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3）（x2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48（2x7）(2x+5)(x29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xy x2y2+2x4y3x4+x22ax a+1 （x+y）4+x4+y4 （a+b+c）3（a3+b3+c3）7. 己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2
7、+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值练习19参考答案：1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例13. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y)3+y3原式=(x-3a)3+a3 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6 x=时，原式=0，有因式2x15. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=6. 分组配方原式=(x2+1)2-(x+a)2 把原式用乘法展开，合并，再分解以a=b代入原式0，故有因式a+b
8、7. 可分解为两个非1的正整数的积8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数，f(1)=4试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯 “习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯一、课堂学习的习惯课
9、堂学习是学习活动的主要阵地课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作1会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高2会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，
10、“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的3会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍4会分析 一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记再如做应用题时
11、，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维5会合作 英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性我们主要的学习方式
12、是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等1复习 及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识2作业 会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业一定要独立完成，决不能依赖别人书写一定要整洁，逻辑一定要条理对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识2认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒4
