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1、7年级数学上册（人教版）试题、练习及答案初中数学竞赛精品标准教程及练习（38）平行和垂直一、内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理 利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。 利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行。 利用比例式ABC中，如果那么DEBC 其他三角形中位线平行于第三边梯形中位线平行于两底平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1.按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。2. 在三角形中证明直角 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。 若一边
2、平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。3. 菱形对角线互相垂直二、例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。已知：ABC中，BD，CE是角平分线，AMBD，ANCE求证：MNBC证明：分别延长AM，AN交BC于F，G则AMBBMFRt12，BMBMAMBFMBAMMF同理可证ANNGMN是AFG的中位线，MNFG，即MNBC例2.已知：AD是RtABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，E
3、GBC交BC于GA求证：FGAC，AGBE证明的要点：EBE是角平分线，F点E到ABC的两边距离相等，即EAEGBDGCAFE，AEF分别是EBC，ABE的余角，AFEAEF得AFAEEG，且EGAF，故AFGE是菱形例3.已知：如图AD是等腰直角ABC斜边上高BM，BN三等分ABC，CM延长线交AB于E求证：ENBM证明要点：根椐轴对称图形的性质CM，CN也三等分ACB点N是ACE的内心，EN是AEC的平分线1ABM30例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，ABD和BCE都是等边三角形，AE交BD于M，CD交BE于N 求证：MNAC证明：在等边ABD和BCE中ABBD，BCCE，ABDBC
4、E60BMCE，MNAC 例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PEAB作PFBC求证：PDEF分析：要证明PDEF，可证PMF90先证12902390而14只要证34可用边角边证BEFGPD（证明略）例6.已知：O和Q相交于A，B，Q经过点O，C是O优弧AB上的一点，CB延长线交Q于D，求证：DOAC证明：连结AB，作O直径AE，DO延长线交AC于FCE，DEABCFDABERt，DOAC三、练习381. 四边形ABCD中，AB，ADBC，则ABCD2. 正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AEBF则AECF3. 已知：平行四边形ABCD的AB2BC，
5、E，F分别在BC和CB的延长线上且CEBFBC求证：AEDF4. 分别以ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证AHCE，AHCE5. 已知：D，E，F是ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且HEAC，HEAC，GDBC，GDBC求证：FDGHEFFGFH6. 已知：在平行四边形ABCD中，A和B的平分线交于E，C和D的平分线相交于F求证：EFBC7. 三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点这点叫做三角形的垂心，如图ABC中，两条高AD和BE交于H，那么H是ABC的垂心D是的垂心E是的垂心C是的垂心8. 已知：O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点，
6、在BC的延长线上任取一点P，过P作AB的垂线PD，D为垂足，过P作AC的垂线PE，E为垂足。试问：不论P点在BC延长线上的哪一个位置，DOE都等于几度？并证明你的结论练习38参考答案：1. 多种证法。AD和BC的延长线交于P，用比例式证明平行较简2. 用RtABE的直角3. 证明菱形对角线4. ABHEBC，AHBECB6.E，F是三角形的中位线8.DOERt，可证明AODEOP试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯 “习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相
7、助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作1会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高2会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运
8、用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的3会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍4会分析 一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解
9、答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异
10、思维5会合作 英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等1复习 及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记在最短的时间内进行复习，对
11、知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识2作业 会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业一定要独立完成，决不能依赖别人书写一定要整洁，逻辑一定要条理对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识2认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒5
